Um traçador não absorvente foi injetado como pulso afiado em um vaso tubular preenchido com uma embalagem experimental e não porosa projetada para promover a mistura radial. A vazão volumétrica através do vaso durante o teste foi de 150 \mathrm{l} / \mathrm{min}. A concentração do traçador no efluente do vaso é dada na tabela a seguir.
Tempo depois Tracer Tempo depois Tracer
Injeção Injeção de concentração concentração
(min) (Mmol/L (min) (Mmol/L
0 0 16 22
2 0 18 16
4 0 20 11
6 2.0 22 7.0
8 12 24 5.0
10 37 26 3.8
12 35 28 2.7
14 28 30 2.0
Quanto marcador (em moles) foi injetado no reator?

Passo 1

O enunciado pede: “Quanto marcador (em moles) foi injetado no reator?”
Informações fornecidas que vou usar (peguei os valores de concentração da tabela do enunciado):
  • Vazão volumétrica: Q=150\\ \mathrm{L/min} (informação do enunciado).
  • Concentração do traçador no efluente nos instantes (todos os valores de concentração foram extraídos da tabela):
    • t=0\\ \mathrm{min}:\\ C=0\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=2\\ \mathrm{min}:\\ C=0\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=4\\ \mathrm{min}:\\ C=0\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=6\\ \mathrm{min}:\\ C=2{,}0\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=8\\ \mathrm{min}:\\ C=12\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=10\\ \mathrm{min}:\\ C=37\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=12\\ \mathrm{min}:\\ C=35\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=14\\ \mathrm{min}:\\ C=28\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=16\\ \mathrm{min}:\\ C=22\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=18\\ \mathrm{min}:\\ C=16\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=20\\ \mathrm{min}:\\ C=11\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=22\\ \mathrm{min}:\\ C=7{,}0\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=24\\ \mathrm{min}:\\ C=5{,}0\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=26\\ \mathrm{min}:\\ C=3{,}8\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=28\\ \mathrm{min}:\\ C=2{,}7\\ \mathrm{mmol/L}
    • t=30\\ \mathrm{min}:\\ C=2{,}0\\ \mathrm{mmol/L}

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado com calma): como o traçador é não absorvente, todo o marcador injetado sairá pelo efluente. Portanto, o total de matéria injetada (em moles) é igual à integral no tempo da vazão multiplicada pela concentração no efluente:
N = Q \int_{0}^{\infty} C(t)\,dt.
Aqui:
  • N é a quantidade total de traçador injetado (em moles),
  • Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{L/min}),
  • C(t) é a concentração no efluente (em \mathrm{mmol/L}),
  • o produto Q\cdot C(t) tem unidade \mathrm{mmol/min}, e integrando sobre o tempo obtemos \mathrm{mmol}. Depois convertemos para \mathrm{mol} usando 1\\ \mathrm{mmol}=10^{-3}\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Como temos apenas medidas discretas em instantes, vamos avaliar a integral numericamente usando a regra dos trapézios. A fórmula da regra dos trapézios para partição uniforme é:
\int_{t_0}^{t_n} C(t)\,dt \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{C_i + C_{i+1}}{2}\,\Delta t_i,
onde \Delta t_i = t_{i+1}-t_i. No nosso caso todos os \Delta t_i valem 2\\ \mathrm{min}.

Passo 4

Vou calcular a contribuição de cada intervalo [t_i,t_{i+1}] usando a regra dos trapézios. Cada resultado tem unidade \mathrm{mmol/L}\cdot\mathrm{min}.
\begin{aligned} \text{entre }0\text{ e }2:\\ &\frac{0+0}{2}\cdot2 = 0\\[4pt] \text{entre }2\text{ e }4:\\ &\frac{0+0}{2}\cdot2 = 0\\[4pt] \text{entre }4\text{ e }6:\\ &\frac{0+2{,}0}{2}\cdot2 = 2\\[4pt] \text{entre }6\text{ e }8:\\ &\frac{2{,}0+12}{2}\cdot2 = 14\\[4pt] \text{entre }8\text{ e }10:\\ &\frac{12+37}{2}\cdot2 = 49\\[4pt] \text{entre }10\text{ e }12:\\ &\frac{37+35}{2}\cdot2 = 72\\[4pt] \text{entre }12\text{ e }14:\\ &\frac{35+28}{2}\cdot2 = 63\\[4pt] \text{entre }14\text{ e }16:\\ &\frac{28+22}{2}\cdot2 = 50\\[4pt] \text{entre }16\text{ e }18:\\ &\frac{22+16}{2}\cdot2 = 38\\[4pt] \text{entre }18\text{ e }20:\\ &\frac{16+11}{2}\cdot2 = 27\\[4pt] \text{entre }20\text{ e }22:\\ &\frac{11+7{,}0}{2}\cdot2 = 18\\[4pt] \text{entre }22\text{ e }24:\\ &\frac{7{,}0+5{,}0}{2}\cdot2 = 12\\[4pt] \text{entre }24\text{ e }26:\\ &\frac{5{,}0+3{,}8}{2}\cdot2 = 8{,}8\\[4pt] \text{entre }26\text{ e }28:\\ &\frac{3{,}8+2{,}7}{2}\cdot2 = 6{,}5\\[4pt] \text{entre }28\text{ e }30:\\ &\frac{2{,}7+2{,}0}{2}\cdot2 = 4{,}7 \end{aligned}]

Passo 5

Somando todas as contribuições obtemos a aproximação da integral \int_0^{30} C(t)\,dt:
\int_{0}^{30} C(t)\,dt \approx 0+0+2+14+49+72+63+50+38+27+18+12+8{,}8+6{,}5+4{,}7 = 365\\ \left(\mathrm{mmol/L}\cdot\mathrm{min}\right).

Passo 6

Agora calculamos o total de traçador (em \mathrm{mmol}) que passou pelo efluente multiplicando pela vazão:
N_{\mathrm{mmol}} = Q\cdot\int_0^{30} C(t)\,dt = 150\\ \mathrm{L/min}\times 365\\ \mathrm{mmol/L\cdot min} = 54\,750\\ \mathrm{mmol}.
Convertemos para moles:
N = 54\,750\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol} = 54{,}75\\ \mathrm{mol}.

Passo 7

Interpretação rápida: como o traçador não foi absorvido, assumir que a integral até 30\\ \mathrm{min} captura praticamente todo o pulso é razoável (os valores além de 30\\ \mathrm{min} são muito pequenos); portanto o total injetado é aproximadamente 54{,}75\\ \mathrm{mol}. Arredondando para dois dígitos significativos dá 54{,}8\\ \mathrm{mol}.

Resposta

54,75 mol

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