Traçar a curva de energia específica para um canal, de seção retangular com 12,00 m de largura, transportando 30,00 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para “traçar a curva de energia específica” para um canal de seção retangular. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Q=30{,}00\\ \mathrm{m^3/s} (vazão)
b=12{,}00\\ \mathrm{m} (largura do canal)
O que se espera como resultado: a expressão da energia específica E como função da profundidade y, o ponto crítico (profundidade crítica y_c onde E é mínima) e informação suficiente (tabela/valores) para você traçar o gráfico (curva) em papel ou em software.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da energia específica para um canal aberto retangular e entender cada termo. A energia específica E é a energia por unidade de peso relativa ao leito, dada por (velocidade média uniforme, coeficiente de energia =1):
E(y)=y+\frac{V^2}{2g},
onde:
  • y é a profundidade do escoamento (m) — termo de energia potencial (altura),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2), tomaremos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Como a área da seção A para retângulo é A=b\,y, a velocidade média é
V=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{b\,y}.
Substituindo V em E:
E(y)=y+\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{b\,y}\right)^{2}.

Passo 3

Simplifico a expressão destacando a constante que depende só de Q, b e g. Definindo
C=\frac{Q^{2}}{2g\,b^{2}},
temos a forma prática para traçar a curva:
E(y)=y+\frac{C}{y^{2}}.
Vou calcular C com os números dados. Substituindo Q=30{,}00, b=12{,}00, g=9{,}81:
C=\frac{30{,}00^{2}}{2\cdot 9{,}81\cdot 12{,}00^{2}}=\frac{900}{2\cdot 9{,}81\cdot 144}.
Calculemos o denominador: 2\cdot 9{,}81\cdot 144=2825{,}28. Então
C\approx\frac{900}{2825{,}28}\approx0{,}318747.
Logo:
E(y)=y+\frac{0{,}318747}{y^{2}}.
Explicação didática: o primeiro termo y cresce linearmente com a profundidade; o segundo termo \dfrac{0{,}318747}{y^{2}} representa a “carga de velocidade” (cabeça de velocidade) e diverge quando y\to 0, por isso a curva de E(y) tem um mínimo em alguma profundidade positiva.

Passo 4

Para encontrar a profundidade crítica y_{c} (valor de y que minimiza E) derivamos E(y) em relação a y e igualamos a zero. Derivada:
\frac{dE}{dy}=1 - 2\cdot\frac{0{,}318747}{y^{3}}.
Explicando: derivada de y é 1; derivada de C y^{-2} é -2C y^{-3}. Igualando a zero para encontrar extremo:
1-2\frac{C}{y^{3}}=0 \quad\Rightarrow\quad 2\frac{C}{y^{3}}=1.
Isolando y^{3}:
y^{3}=2C.
Mas note que usando a forma geral sem o passo intermediário, a condição crítica também pode ser obtida em termos de Q,b,g diretamente: a condição de criticidade (número de Froude Fr=1) dá
y_{c}^{3}=\frac{Q^{2}}{g\,b^{2}}.
Vou usar essa fórmula (é a mesma que a anterior porque 2C=Q^{2}/(g b^{2})).

Passo 5

Calculemos numericamente y_{c}. Substituindo:
y_{c}^{3}=\frac{30{,}00^{2}}{9{,}81\cdot 12{,}00^{2}}=\frac{900}{1412{,}64}\approx0{,}637465.
Tomando a raiz cúbica:
y_{c}\approx 0{,}8606\\ \mathrm{m}.
Pequeno comentário motivador: já está! Esse número é o ponto onde a curva de energia tem mínimo — então é o “fundo” da curva que você vai desenhar.

Passo 6

Agora calculamos a energia específica mínima E_{c}=E(y_{c}). Há uma relação simples para canal retangular: no ponto crítico
E_{c}=\frac{3}{2}\,y_{c}.
Explicando de onde vem essa relação: em criticidade temos Q^{2}/(2g b^{2} y_{c}^{2})=(1/2)y_{c} (pela condição Q^{2}/(g b^{2} y_{c}^{3})=1); então E_{c}=y_{c}+(1/2)y_{c}=(3/2)y_{c}. Usando y_{c}\approx 0{,}8606\\ \mathrm{m}:
E_{c}\approx\frac{3}{2}\cdot 0{,}8606\approx 1{,}2910\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Para traçar a curva, é útil ter alguns pontos (y,E(y)). Vou calcular E(y)=y+0{,}318747/y^{2} para profundidades representativas, mostrando os cálculos passo a passo (você pode usar esses pontos para desenhar a curva):
  • Para y=0{,}20\\ \mathrm{m}: y^{2}=0{,}04. Segundo termo =0{,}318747/0{,}04=7{,}9687. Logo E(0{,}20)=0{,}20+7{,}9687=8{,}1687\\ \mathrm{m}.
  • Para y=0{,}40\\ \mathrm{m}: y^{2}=0{,}16. Segundo termo =0{,}318747/0{,}16=1{,}99217. Logo E(0{,}40)=0{,}40+1{,}99217=2{,}39217\\ \mathrm{m}.
  • Para y=0{,}60\\ \mathrm{m}: y^{2}=0{,}36. Segundo termo =0{,}318747/0{,}36=0{,}88541. Logo E(0{,}60)=0{,}60+0{,}88541=1{,}48541\\ \mathrm{m}.
  • Para y=0{,}86\\ \mathrm{m} (próximo de y_{c}): y^{2}\approx0{,}7406. Segundo termo =0{,}318747/0{,}7406\approx0{,}4305. Logo E(0{,}86)\approx0{,}8606+0{,}4305=1{,}2911\\ \mathrm{m} (é o mínimo).
  • Para y=1{,}20\\ \mathrm{m}: y^{2}=1{,}44. Segundo termo =0{,}318747/1{,}44=0{,}22146. Logo E(1{,}20)=1{,}20+0{,}22146=1{,}42146\\ \mathrm{m}.
  • Para y=1{,}50\\ \mathrm{m}: y^{2}=2{,}25. Segundo termo =0{,}318747/2{,}25=0{,}141666. Logo E(1{,}50)=1{,}50+0{,}141666=1{,}641666\\ \mathrm{m}.
  • Para y=2{,}00\\ \mathrm{m}: y^{2}=4{,}00. Segundo termo =0{,}318747/4=0{,}079687. Logo E(2{,}00)=2{,}00+0{,}079687=2{,}079687\\ \mathrm{m}.
Esses pontos mostram claramente a forma da curva: muito alta quando y é pequeno (por causa do termo de velocidade), decresce até o mínimo em y_{c} e depois cresce quase linearmente para y grandes (termo y domina).

Passo 8

Comentário sobre regime de escoamento (útil para interpretar a curva na prova): o número de Froude é
Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}}=\frac{Q}{b\,y\sqrt{g\,y}}.
  • Se Fr>1: escoamento supercrítico (profundidades pequenas, ramo esquerdo da curva).
  • Se Fr<1: escoamento subcrítico (profundidades maiores, ramo direito da curva).
    No ponto crítico Fr=1 e a profundidade é y_{c}. Exemplos numéricos rápidos:
  • Para y=0{,}40\\ \mathrm{m}: V=30/(12\cdot 0{,}40)=6{,}25\\ \mathrm{m/s}. \sqrt{g y}\approx\sqrt{9{,}81\cdot0{,}40}\approx1{,}981. Assim Fr\approx3{,}16 (supercrítico).
  • Para y=1{,}50\\ \mathrm{m}: V=30/(12\cdot1{,}50)=1{,}6667\\ \mathrm{m/s}. \sqrt{g y}\approx3{,}836. Assim Fr\approx0{,}434 (subcrítico).

Passo 9

Instruções práticas para traçar a curva (passo a passo que você pode seguir rápido na prova):
  1. No eixo horizontal coloque y (por exemplo de 0{,}1 a 3{,}0\\ \mathrm{m}). No eixo vertical coloque E (m).
  2. Use a fórmula E(y)=y+0{,}318747/y^{2} para calcular pontos (use a tabela do Passo 7).
  3. Marque o ponto crítico (y_{c}\approx0{,}8606,\\ E_{c}\approx1{,}2910). Este é o mínimo da curva.
  4. Desenhe uma curva suave que passa pelos pontos calculados: ela desce rapidamente quando y aumenta de valores muito pequenos até y_{c}, atinge o mínimo, e depois sobe lentamente aproximadamente na direção da reta E\approx y para profundidades maiores.
  5. Se precisar encontrar, para uma certa energia E_0>E_c, as duas profundidades possíveis (uma supercrítica pequena e outra subcrítica maior), resolva a equação não linear y+\dfrac{0{,}318747}{y^{2}}=E_0 por método numérico (ou gráfica).

Resposta

E(y)=y+\dfrac{Q^{2}}{2g b^{2}y^{2}}=y+\dfrac{0{,}318747}{y^{2}}
y_{c}\approx 0{,}8606\\ \mathrm{m}
E_{c}\approx 1{,}2910\\ \mathrm{m}

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