Traçar a curva de energia específica para um canal, de seção retangular com 12,00 m de largura, transportando
.
Passo 1
O enunciado pede para “traçar a curva de energia específica” para um canal de seção retangular. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
(vazão)
(largura do canal)
O que se espera como resultado: a expressão da energia específica como função da profundidade
, o ponto crítico (profundidade crítica
onde
é mínima) e informação suficiente (tabela/valores) para você traçar o gráfico (curva) em papel ou em software.
O que se espera como resultado: a expressão da energia específica
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da energia específica para um canal aberto retangular e entender cada termo. A energia específica
é a energia por unidade de peso relativa ao leito, dada por (velocidade média uniforme, coeficiente de energia
):
onde:
-
é a profundidade do escoamento (m) — termo de energia potencial (altura), -
é a velocidade média (m/s), -
é a aceleração da gravidade (m/s ), tomaremos .
Como a área da seção
para retângulo é
, a velocidade média é
Substituindo
em
:
Passo 3
Simplifico a expressão destacando a constante que depende só de
,
e
. Definindo
temos a forma prática para traçar a curva:
Vou calcular
com os números dados. Substituindo
,
,
:
Calculemos o denominador:
. Então
Logo:
Explicação didática: o primeiro termo
cresce linearmente com a profundidade; o segundo termo
representa a “carga de velocidade” (cabeça de velocidade) e diverge quando
, por isso a curva de
tem um mínimo em alguma profundidade positiva.
Passo 4
Para encontrar a profundidade crítica
(valor de
que minimiza
) derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Derivada:
Explicando: derivada de
é
; derivada de
é
. Igualando a zero para encontrar extremo:
Isolando
:
Mas note que usando a forma geral sem o passo intermediário, a condição crítica também pode ser obtida em termos de
diretamente: a condição de criticidade (número de Froude
) dá
Vou usar essa fórmula (é a mesma que a anterior porque
).
Passo 5
Calculemos numericamente
. Substituindo:
Tomando a raiz cúbica:
Pequeno comentário motivador: já está! Esse número é o ponto onde a curva de energia tem mínimo — então é o “fundo” da curva que você vai desenhar.
Passo 6
Agora calculamos a energia específica mínima
. Há uma relação simples para canal retangular: no ponto crítico
Explicando de onde vem essa relação: em criticidade temos
(pela condição
); então
. Usando
:
Passo 7
Para traçar a curva, é útil ter alguns pontos
. Vou calcular
para profundidades representativas, mostrando os cálculos passo a passo (você pode usar esses pontos para desenhar a curva):
-
Para
: . Segundo termo . Logo . -
Para
: . Segundo termo . Logo . -
Para
: . Segundo termo . Logo . -
Para
(próximo de ): . Segundo termo . Logo (é o mínimo). -
Para
: . Segundo termo . Logo . -
Para
: . Segundo termo . Logo . -
Para
: . Segundo termo . Logo .
Esses pontos mostram claramente a forma da curva: muito alta quando
é pequeno (por causa do termo de velocidade), decresce até o mínimo em
e depois cresce quase linearmente para
grandes (termo
domina).
Passo 8
Comentário sobre regime de escoamento (útil para interpretar a curva na prova): o número de Froude é
- Se
: escoamento supercrítico (profundidades pequenas, ramo esquerdo da curva). - Se
: escoamento subcrítico (profundidades maiores, ramo direito da curva).
No ponto críticoe a profundidade é . Exemplos numéricos rápidos: - Para
: . . Assim (supercrítico). - Para
: . . Assim (subcrítico).
Passo 9
Instruções práticas para traçar a curva (passo a passo que você pode seguir rápido na prova):
- No eixo horizontal coloque
(por exemplo de a ). No eixo vertical coloque (m). - Use a fórmula
para calcular pontos (use a tabela do Passo 7). - Marque o ponto crítico
. Este é o mínimo da curva. - Desenhe uma curva suave que passa pelos pontos calculados: ela desce rapidamente quando
aumenta de valores muito pequenos até , atinge o mínimo, e depois sobe lentamente aproximadamente na direção da reta para profundidades maiores. - Se precisar encontrar, para uma certa energia
, as duas profundidades possíveis (uma supercrítica pequena e outra subcrítica maior), resolva a equação não linear por método numérico (ou gráfica).