Um canal se seção retangular transporta 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determinar a profundidade crítica e a velocidade crítica para:
uma largura de 3 m

Passo 1

O enunciado dá uma vazão volumétrica e a largura de um canal de seção retangular e pede duas coisas: a profundidade crítica e a velocidade crítica.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Q=6\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
\text{largura }b=3\\ \mathrm{m}
O que se pede:
  • Profundidade crítica y_c (a profundidade para a qual a energia específica é mínima, isto é, condição crítica).
  • Velocidade crítica V_c (a velocidade correspondente à profundidade crítica).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
  • Vazão por unidade de largura: q. É a vazão dividida pela largura do canal.
q=\frac{Q}{b}
Aqui Q é a vazão total \mathrm{(m^3/s)} e b a largura \mathrm{(m)}. Assim q tem unidades \mathrm{m^2/s} (área por tempo).
  • Energia específica para canal retangular (por unidade de peso), em função da profundidade y:
E(y)=y+\frac{q^{2}}{2g\,y^{2}}
Explicando: E é a energia específica; o primeiro termo y é a energia potencial (nível da superfície livre) e o segundo \dfrac{q^{2}}{2g\,y^{2}} é a energia cinética expressa em termos de q. g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}). Todas as variáveis estão já definidas.
  • Condição de escoamento crítico: a energia específica tem um mínimo em y=y_c. Matematicamente, deriva-se E(y) e iguala-se zero:
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}=0.
Vamos calcular essa derivada e obter a relação que dá y_c.

Passo 3

Derivando E(y) e obtendo a equação para y_c.
Derivada de E(y):
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}=1 - \frac{q^{2}}{g\,y^{3}}.
Aqui usei a regra de derivação do termo q^{2}/(2g\,y^{2}): derivative é -2\cdot q^{2}/(2g\,y^{3}) = - q^{2}/(g\,y^{3}).
Aplicando a condição crítica \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y}=0:
1 - \frac{q^{2}}{g\,y_{c}^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{q^{2}}{g}=y_{c}^{3}.
Portanto a fórmula para a profundidade crítica em canal retangular é
y_{c}=\left(\frac{q^{2}}{g}\right)^{1/3}.

Passo 4

Calcular q com os dados do enunciado.
q=\frac{Q}{b}=\frac{6}{3}=2\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Agora aplicar a fórmula de y_c:
y_{c}=\left(\frac{q^{2}}{g}\right)^{1/3}= \left(\frac{2^{2}}{9{,}81}\right)^{1/3}= \left(\frac{4}{9{,}81}\right)^{1/3}.
Calculemos em etapas:
\frac{4}{9{,}81}=0{,}407749\ldots
A raiz cúbica de 0{,}407749\ldots é aproximadamente 0{,}742.
Logo:
y_{c}\approx 0{,}742\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade crítica V_c. Duas fórmulas equivalentes:
  1. Pela definição de velocidade média V=\dfrac{q}{y}, em condição crítica:
V_{c}=\frac{q}{y_{c}}.
  1. Alternativamente, para condição crítica vale V_{c}=\sqrt{g\,y_{c}} (isso decorre de q^{2}=g y_{c}^{3} e V=q/y).
Uso a segunda (é direta e dá a mesma coisa):
V_{c}=\sqrt{g\,y_{c}}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}742}\approx \sqrt{7{,}28}\approx 2{,}70\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida com a primeira fórmula:
\frac{q}{y_{c}}=\frac{2}{0{,}742}\approx 2{,}70\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado (boa checagem).

Passo 6

Interpretando e conferindo: em escoamento crítico a Froude number Fr vale exatamente 1, onde
Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}}.
Com V=V_c e y=y_c obtemos Fr=1, o que confirma consistência dos cálculos.
Força de ânimo: marco rápido — a conta inteira é só lembrar de calcular q=Q/b, usar y_c=(q^2/g)^{1/3} e depois V_c=\sqrt{g y_c}. Dá pra fazer rápido na prova.

Resposta

y_{c}\approx 0{,}742\\ \mathrm{m}
V_{c}\approx 2{,}70\\ \mathrm{m/s}

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