Um canal se seção retangular transporta
. Determinar a profundidade crítica e a velocidade crítica para:
uma largura de 3 m
uma largura de 3 m
Passo 1
O enunciado dá uma vazão volumétrica e a largura de um canal de seção retangular e pede duas coisas: a profundidade crítica e a velocidade crítica.\n
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O que se pede:
- Profundidade crítica
(a profundidade para a qual a energia específica é mínima, isto é, condição crítica). - Velocidade crítica
(a velocidade correspondente à profundidade crítica).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (vou explicar cada símbolo):
- Vazão por unidade de largura:
. É a vazão dividida pela largura do canal.
Aqui
é a vazão total
e
a largura
. Assim
tem unidades
(área por tempo).
- Energia específica para canal retangular (por unidade de peso), em função da profundidade
:
Explicando:
é a energia específica; o primeiro termo
é a energia potencial (nível da superfície livre) e o segundo
é a energia cinética expressa em termos de
.
é a aceleração da gravidade (vou usar
). Todas as variáveis estão já definidas.
- Condição de escoamento crítico: a energia específica tem um mínimo em
. Matematicamente, deriva-se e iguala-se zero:
Vamos calcular essa derivada e obter a relação que dá
.
Passo 3
Derivando
e obtendo a equação para
.
Derivada de
:
Aqui usei a regra de derivação do termo
: derivative é
.
Aplicando a condição crítica
:
Portanto a fórmula para a profundidade crítica em canal retangular é
Passo 4
Calcular
com os dados do enunciado.
Agora aplicar a fórmula de
:
Calculemos em etapas:
A raiz cúbica de
é aproximadamente
.
Logo:
Logo:
Passo 5
Calcular a velocidade crítica
. Duas fórmulas equivalentes:
- Pela definição de velocidade média
, em condição crítica:
- Alternativamente, para condição crítica vale
(isso decorre de e ).
Uso a segunda (é direta e dá a mesma coisa):
Verificação rápida com a primeira fórmula:
mesmo resultado (boa checagem).
Passo 6
Interpretando e conferindo: em escoamento crítico a Froude number
vale exatamente 1, onde
Com
e
obtemos
, o que confirma consistência dos cálculos.
Força de ânimo: marco rápido — a conta inteira é só lembrar de calcular
, usar
e depois
. Dá pra fazer rápido na prova.