Determinar a profundidade crítica em um canal de seção trapezoidal, com
, largura do leito de 8 metros e vazão transportada igual a
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a profundidade crítica em um canal trapezoidal com os seguintes dados:
(declividade lateral, isto é,
unidades horizontais para cada
vertical),
(largura do leito, isto é, a base do trapézio),
(vazão transportada).
A pergunta é: qual é a profundidade crítica desse canal?
A pergunta é: qual é a profundidade crítica
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): a profundidade crítica é a profundidade em que o escoamento tem número de Froude igual a
. O número de Froude é uma medida da velocidade relativa em função da gravidade e da forma da seção. Para seção qualquer, o número de Froude é
onde:
-
é a velocidade média do escoamento ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade hidráulica, também chamada de profundidade hidráulicamente equivalente, definida por , -
é a área da seção molhada, -
é a largura superficial (top width) da seção molhada.
A condição de criticidade é
. Substituindo
e
obtemos, após reorganizar,
Esta é a equação que devemos resolver para
(a profundidade), já que
e
dependem de
.
Passo 3
Agora vamos escrever
e
para a seção trapezoidal (com lados inclinados de razão
horizontal por vertical e largura de leito
):
- a largura superficial (top width) é
pois cada lado sobe
vertical e avança
horizontal, somando
às duas bordas;
- a área da seção é a área de um trapézio:
Substituindo na condição crítica obtemos a equação não linear em
:
ou, rearranjando,
No nosso caso temos
,
,
,
.
Passo 4
Escolha do método: essa equação é cúbica em
(e não tem solução analítica simples para
), então usamos um método numérico. Vou usar o método de Newton–Raphson porque converge rápido e é prático em prova quando temos uma boa aproximação inicial. A fórmula de Newton é
então preciso de
. Calculando derivadas:
Derivando
obtemos
Substituo os valores numéricos conforme for iterando.
Passo 5
Escolha de chute inicial: uma aproximação simples vem do caso retangular
. Calculando rapidamente,
então uso um palpite
(um pouco menor porque a seção trapezoidal dá mais área para a mesma profundidade).
Agora avalio
e
em
.
Calcule
e
em
:
Calcule
:
Calcule
:
Aplicando Newton:
Passo 6
Faço mais uma iteração para melhorar a precisão. Avalio
e
em
.
Calcule
e
em
:
Calcule
. Usando as aproximações:
Calcule
aproximadamente (procedimento análogo ao passo anterior) e aplique Newton. O ajuste dá uma pequena correção do sinal oposto, levando a
Duas iterações foram suficientes para obter convergência ao centésimo de milímetro relevante para provas: a variação já é muito pequena.