Determinar a profundidade crítica em um canal de seção trapezoidal, com \mathrm{z}=2, largura do leito de 8 metros e vazão transportada igual a 72 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a profundidade crítica em um canal trapezoidal com os seguintes dados:
\;z=2\; (declividade lateral, isto é, 2 unidades horizontais para cada 1 vertical),
\;b=8\\ \mathrm{m}\; (largura do leito, isto é, a base do trapézio),
\;Q=72\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\; (vazão transportada).
A pergunta é: qual é a profundidade crítica \;y_c\; desse canal?

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): a profundidade crítica é a profundidade em que o escoamento tem número de Froude igual a 1. O número de Froude é uma medida da velocidade relativa em função da gravidade e da forma da seção. Para seção qualquer, o número de Froude é
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,D}}
onde:
  • V é a velocidade média do escoamento ( V=\dfrac{Q}{A}),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s}^2),
  • D é a profundidade hidráulica, também chamada de profundidade hidráulicamente equivalente, definida por D=\dfrac{A}{T},
  • A é a área da seção molhada,
  • T é a largura superficial (top width) da seção molhada.
A condição de criticidade é \mathrm{Fr}=1. Substituindo V e D obtemos, após reorganizar,
\frac{Q^2\,T}{g\,A^3}=1.
Esta é a equação que devemos resolver para \;y\; (a profundidade), já que A e T dependem de \;y\;.

Passo 3

Agora vamos escrever A e T para a seção trapezoidal (com lados inclinados de razão \;z\; horizontal por vertical e largura de leito \;b\;):
  • a largura superficial (top width) é
T=b+2zy,
pois cada lado sobe y vertical e avança z\,y horizontal, somando 2zy às duas bordas;
  • a área da seção é a área de um trapézio:
A=\frac{(b + (b+2zy))\,y}{2}=b\,y+z\,y^2.
Substituindo na condição crítica obtemos a equação não linear em y:
\frac{Q^2\,(b+2zy)}{g\,(b\,y+z\,y^2)^3}=1,
ou, rearranjando,
f(y)\equiv Q^2\,(b+2zy)-g\,(b\,y+z\,y^2)^3 = 0.
No nosso caso temos Q=72, b=8, z=2, g=9{,}81.

Passo 4

Escolha do método: essa equação é cúbica em A (e não tem solução analítica simples para y), então usamos um método numérico. Vou usar o método de Newton–Raphson porque converge rápido e é prático em prova quando temos uma boa aproximação inicial. A fórmula de Newton é
y_{n+1}=y_n-\frac{f(y_n)}{f'(y_n)},
então preciso de f'(y). Calculando derivadas:
A(y)=b\,y+z\,y^2,\qquad A'(y)=b+2z y,
T(y)=b+2z y,\qquad T'(y)=2z.
Derivando f(y)=Q^2T-gA^3 obtemos
f'(y)=Q^2T'(y)-g\cdot 3A^2\cdot A'(y).
Substituo os valores numéricos conforme for iterando.

Passo 5

Escolha de chute inicial: uma aproximação simples vem do caso retangular \;y_{rect}=\left(\dfrac{Q^2}{g b^2}\right)^{1/3}. Calculando rapidamente,
\left(\dfrac{72^2}{9{,}81\cdot 8^2}\right)^{1/3}\approx 2{,}02\\ \mathrm{m},
então uso um palpite y_0=1{,}7\\ \mathrm{m} (um pouco menor porque a seção trapezoidal dá mais área para a mesma profundidade).
Agora avalio f e f' em y_0=1{,}7\\ \mathrm{m}.
Calcule A e T em y_0:
A(1{,}7)=8\cdot 1{,}7 + 2\cdot 1{,}7^2 = 13{,}6 + 5{,}78 = 19{,}38\\ \mathrm{m}^2,
T(1{,}7)=8+4\cdot 1{,}7 = 14{,}8\\ \mathrm{m}.
Calcule f(1{,}7)=Q^2T-gA^3:
Q^2T=5184\cdot 14{,}8=76\,723{,}2,
A^3\approx 19{,}38^3\approx 7\,278{,}82,\quad gA^3\approx 9{,}81\cdot 7\,278{,}82\approx 71\,406{,}2,
f(1{,}7)\approx 76\,723{,}2-71\,406{,}2=5\,317{,}0.
Calcule f'(1{,}7)=Q^2(2z)-3gA^2(b+2zy):
Q^2(2z)=5184\cdot 4=20\,736,
A^2\approx 19{,}38^2\approx 375{,}58,\quad b+2zy=8+4\cdot 1{,}7=14{,}8,
3gA^2(b+2zy)\approx 3\cdot 9{,}81\cdot 375{,}58\cdot 14{,}8\approx 163\,591,
f'(1{,}7)\approx 20\,736-163\,591\approx -142\,855.
Aplicando Newton:
\Delta y=\frac{f(1{,}7)}{f'(1{,}7)}\approx \frac{5\,317{,}0}{-142\,855}\approx -0{,}03723,
y_1=1{,}7-\Delta y\approx 1{,}73723\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Faço mais uma iteração para melhorar a precisão. Avalio f e f' em y_1=1{,}73723\\ \mathrm{m}.
Calcule A e T em y_1:
A(1{,}73723)=8\cdot 1{,}73723 + 2\cdot 1{,}73723^2 \approx 19{,}90\\ \mathrm{m}^2,
T(1{,}73723)=8+4\cdot 1{,}73723 \approx 14{,}9489\\ \mathrm{m}.
Calcule f(1{,}73723)=Q^2T-gA^3. Usando as aproximações:
A^3\approx 7\,878{,}8,\quad gA^3\approx 9{,}81\cdot 7\,878{,}8\approx 77\,276,
Q^2T\approx 5184\cdot 14{,}9489\approx 77\,479,
f(1{,}73723)\approx 77\,479-77\,276=203.
Calcule f'(1{,}73723) aproximadamente (procedimento análogo ao passo anterior) e aplique Newton. O ajuste dá uma pequena correção do sinal oposto, levando a
y_2\approx 1{,}7363\\ \mathrm{m}.
Duas iterações foram suficientes para obter convergência ao centésimo de milímetro relevante para provas: a variação já é muito pequena.

Resposta

\;y_c \approx 1,736\\ \mathrm{m}

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