traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de K:
K:0,1

Passo 1

O enunciado pede que eu “traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( C_s/C_0 em função da fração sólida f_s)” para o valor do coeficiente de segregação K=0,1.
Informações do enunciado:
  • Coeficiente de partição/segregação: K=0,1.
  • Grandezas pedidas: razão de concentrações C_s/C_0 (concentração do sólido formado relativa à concentração inicial) como função de f_s (fração solidificada, varia de 0 a 1).
  • Não há indicação explícita do modelo a usar (equilíbrio total ou solidificação não-equilíbrica/Scheil). O enunciado é apenas: traçar a curva para K=0,1.

Passo 2

O que significam as variáveis (explicação didática e necessária antes de começar a resolver):
  • C_0: concentração inicial da liga (ou da fase líquida antes de começar a solidificação). É a referência.
  • C_L: concentração do líquido durante a solidificação (pode variar com f_s).
  • C_s: concentração do sólido recém-formado (composição da fase sólida que se forma num pequeno incremento).
  • f_s: fração sólida formada (vai de 0 até 1 conforme a solidificação progride).
  • K (coeficiente de partição): definido por \displaystyle K=\frac{C_s}{C_L} no ponto de solidificação (isto é, a composição do sólido em equilíbrio local relativa à do líquido). É uma constante para um par de fases a uma dada temperatura (simplificação usual).
    Explicando em palavras: quando um pequeno volume de sólido se forma, seu teor de soluto é tipicamente menor que o do líquido se K<1. O valor de K controla quanto o soluto é rejeitado para o líquido restante — e isso define o perfil C_s/C_0 ao longo de f_s.

Passo 3

Escolha do método (e por que):
Há dois modelos padrão para relacionar C_s e f_s:
  • Modelo de equilíbrio (difusão completa no sólido e no líquido; a composição do sólido que se forma é sempre a composição de equilíbrio com o líquido local). É o mais básico e direto do ponto de vista algébrico.
  • Modelo de Scheil (modelo não-equilíbrio clássico): assume mistura perfeita no líquido (difusão instantânea no líquido) e ausência de difusão no sólido após formá-lo. Esse modelo é muito usado para microsegregação e dá um acúmulo muito maior de soluto no líquido remanescente.
    Pela regra que sigo, vou apresentar a solução do modelo de equilíbrio (mais básico), derivando a fórmula e dando valores numéricos para K=0,1. Depois eu também apresento a fórmula de Scheil (pois é muito importante e o resultado é frequentemente pedido nas provas) e calculo uma tabela comparativa — assim você sabe qual usar dependendo do enunciado da prova.

Passo 4

Derivação passo a passo do modelo de equilíbrio (massa conservada + relação de partição):
  1. Conservação de massa global do soluto: a concentração média C_0 é a média ponderada entre o sólido já formado e o líquido restante:
C_0 = f_s \, C_S + (1-f_s)\, C_L.
Aqui C_S é a composição do sólido já formado (na hipótese de equilíbrio total, cada porção sólida tem composição de equilíbrio com o líquido local — e para o sólido formado em cada passo vale C_S = K C_L). Note: C_S representa a composição média do sólido já formado; segundo hipótese de equilíbrio essa é K C_L com C_L sendo a composição do líquido naquele instante.
2) Usando a relação de partição \displaystyle C_S = K C_L, substituo na conservação:
C_0 = f_s (K C_L) + (1-f_s) C_L = C_L\big( K f_s + (1-f_s)\big).
  1. Isolando C_L:
C_L = \frac{C_0}{1 - (1-K) f_s}.
(Aqui fiz: K f_s + 1 - f_s = 1 - (1-K) f_s.)
4) Finalmente, a composição do sólido (na fração que se forma naquele instante, e também a média do sólido formado) é
C_S = K C_L = \frac{K\,C_0}{1 - (1-K) f_s}.
  1. Portanto a razão pedida — que é a curva C_s/C_0 em função de f_s — é:
\boxed{\displaystyle \frac{C_s}{C_0} = \frac{K}{1 - (1-K) f_s}.}
Esse é o resultado do modelo de equilíbrio (também chamado às vezes de solidificação com difusão completa no sólido).

Passo 5

Interpretação da fórmula do modelo de equilíbrio (com K=0,1):
Substituindo K=0,1 na expressão
\frac{C_s}{C_0}=\frac{0,1}{1-(1-0,1)f_s}=\frac{0,1}{1-0,9 f_s}.
Características importantes (úteis para desenhar a curva na prova):
  • Em f_s=0 (início da solidificação): \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=K=0,1. Ou seja, o primeiro sólido tem baixa concentração relativa.
  • Em f_s\to 1 (final da solidificação): denominador \to 1-0,9\cdot1=0,1, e então \displaystyle \frac{C_s}{C_0}\to \frac{0,1}{0,1}=1. Ou seja, a composição média do sólido acabado é igual à composição inicial C_0 (faz sentido: no fim a liga inteira é sólida e tem média C_0).
  • A curva é monotonicamente crescente em f_s: começa em 0,1 e cresce lentamente no início, ficando cada vez mais íngreme conforme f_s se aproxima de 1. Para K pequeno há segregação significativa próxima do fim.

Passo 6

Cálculo numérico em pontos (modelo de equilíbrio) para K=0,1. Vou dar uma tabela com f_s de 0 a 1 em passos de 0,1. Use esses pontos para traçar a curva com precisão suficiente na prova (ou ligar os pontos suavemente):
\begin{array}{c|c} f_s & \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=\frac{0,1}{1-0,9 f_s} \\\ \hline 0,0 & 0,10000\\\\ 0,1 & 0,10989\\\\ 0,2 & 0,12195\\\\ 0,3 & 0,13699\\\\ 0,4 & 0,15625\\\\ 0,5 & 0,18182\\\\ 0,6 & 0,21739\\\\ 0,7 & 0,27027\\\\ 0,8 & 0,35714\\\\ 0,9 & 0,52632\\\\ 1,0 & 1,00000 \end{array}
Explicando os cálculos rápidos: para cada f_s calcule o denominador 1-0,9 f_s e depois divida 0,1 por esse valor. Por exemplo, para f_s=0,5: denominador =1-0,9\cdot0,5=1-0,45=0,55; então C_s/C_0=0,1/0,55=0,181818\ldots.

Passo 7

Como desenhar o gráfico (passo a passo prático que você pode usar na prova sem calculadora pesada):
  1. Faça eixos: eixo horizontal = f_s (0 a 1), eixo vertical = C_s/C_0 (comece em 0 até, por exemplo, 1,2 ou 1). Rotule.
  2. Marque os pontos da tabela do Passo 6 (especialmente f_s=0 0,1 e f_s=1 1; marque também f_s=0,5 e 0,9 onde o crescimento acelera).
  3. Una os pontos com uma curva suave e crescente. Ela será quase plana no começo e ficará muito íngreme perto do final.
    Dica prática: se tiver pouco tempo, plote só três pontos chave ( f_s=0, f_s=0,5, f_s=1) e desenhe a tendência crescente — isso já mostra que você entendeu o comportamento.

Passo 8

Apresentando o modelo de Scheil (importante alternativa; muitas provas pedem explicitamente “usar o modelo de Scheil”):
Derivação curta e didática do resultado de Scheil:
  • Hipóteses de Scheil: mistura completa no líquido ( C_L homogêneo a cada instante ), e ausência de difusão no sólido (uma vez formado, o soluto do sólido fica “congelado”). Então a composição do sólido formado num instante é C_s = K C_L.
  • Conservação diferencial de soluto para o líquido: um pequeno incremento de sólido df_s retira da massa total a quantidade de soluto C_s\, df_s = K C_L df_s. A massa de soluto no líquido restante é (1-f_s) C_L. Assim:
d\big( (1-f_s) C_L \big) = - K C_L\, df_s.
  • Desenvolvendo o diferencial:
-(C_L)\, df_s + (1-f_s)\, dC_L = -K C_L\, df_s.
  • Rearranjando:
(1-f_s)\, \frac{dC_L}{C_L} = (1-K)\, df_s.
  • Integrando de f_s=0 (onde C_L=C_0) até f_s e C_L:
\int_{C_0}^{C_L} \frac{dC_L}{C_L} = \int_0^{f_s} \frac{1-K}{1-f_s'}\, df_s'
\ln\!\left(\frac{C_L}{C_0}\right) = -(1-K)\ln(1-f_s).
  • Tomando exponencial:
C_L = C_0 (1-f_s)^{-(1-K)} = C_0 (1-f_s)^{K-1}.
  • E a composição do sólido formado num instante (Scheil) é:
C_s = K C_L = K C_0 (1-f_s)^{K-1}.
  • Portanto a razão pedida no modelo de Scheil é:
\boxed{\displaystyle \frac{C_s}{C_0} = K (1-f_s)^{K-1}.}

Passo 9

Avaliação numérica do modelo de Scheil para K=0,1 e comparação com o modelo de equilíbrio (tabelas úteis para traçar ambas as curvas e discutir diferenças). Usarei os mesmos f_s de 0,1,…,1, lembrando que para Scheil o valor tende a crescer sem limite quando f_s\to1 se K<1 (o modelo prevê uma divergência do último líquido remanescente):
\begin{array}{c|c} f_s & \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=0,1\,(1-f_s)^{-0,9} \\\ \hline 0,0 & 0,10000\\\\ 0,1 & 0,10995\\\\ 0,2 & 0,12223\\\\ 0,3 & 0,13784\\\\ 0,4 & 0,15833\\\\ 0,5 & 0,18668\\\\ 0,6 & 0,22816\\\\ 0,7 & 0,29550\\\\ 0,8 & 0,42543\\\\ 0,9 & 0,79433\\\\ 1,0 & \text{diverge (tende a }+\infty\text{)} \end{array}
Comparação prática: as duas curvas começam iguais em f_s=0 ( C_s/C_0=K=0,1). Para valores moderados de f_s (até cerca de 0,5) as curvas são próximas; porém, para f_s grandes a curva de Scheil sobe muito mais rápido e, teoricamente, diverge no fim. Isso mostra que Scheil prediz segregação muito mais forte no final da solidificação quando não há difusão no sólido.

Passo 10

Resumo rápido — o que você precisa levar para a prova e como responder se o enunciado pedir “traçar a curva”:
  • Se o enunciado não especificar, escreva explicitamente qual modelo você está usando (equilíbrio ou Scheil) e as justificativas curtas (ex.: “assumo equilíbrio completo no sólido” ou “assumo modelo de Scheil (sem difusão no sólido)”). Isso garante pontos.
  • Fórmulas prontas para resposta rápida (substitua K=0,1 se precisar):
    • Equilíbrio: \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=\frac{K}{1-(1-K)f_s}. Para K=0,1: \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=\frac{0,1}{1-0,9 f_s}.
    • Scheil: \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=K(1-f_s)^{K-1}. Para K=0,1: \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=0,1\,(1-f_s)^{-0,9}.
  • Para desenhar: use a tabela do Passo 6 (equilíbrio) ou do Passo 9 (Scheil), marque alguns pontos e ligue suavemente. Se tiver de escolher, explique por que escolheu um modelo — isso demonstra entendimento.
Força aí — vai dar tempo de estudar isso e desenhar as curvas na sua prova. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{C_s}{C_0}=\frac{0,1}{1-0,9 f_s} (modelo de equilíbrio);\newline
Tabela (equilíbrio): f_s=0,0\to0,10000, 0,1\to0,10989, 0,2\to0,12195, 0,3\to0,13699, 0,4\to0,15625, 0,5\to0,18182, 0,6\to0,21739, 0,7\to0,27027, 0,8\to0,35714, 0,9\to0,52632, 1,0\to1,00000.\newline
Alternativa (Scheil): \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=0,1\,(1-f_s)^{-0,9};\newline
Tabela (Scheil): f_s=0,0\to0,10000, 0,1\to0,10995, 0,2\to0,12223, 0,3\to0,13784, 0,4\to0,15833, 0,5\to0,18668, 0,6\to0,22816, 0,7\to0,29550, 0,8\to0,42543, 0,9\to0,79433, 1,0\to diverge (tende a +\infty).

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