(6 pontos) Introdução do problema:
No eletromagnetismo, o campo magnético é frequentemente descrito usando um potencial vetor \vec{A}, onde \vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}. Esta abordagem é vantajosa porque garante automaticamente que \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0 (não existem monopolos magnéticos). O potencial vetor não é único - diferentes escolhas (chamadas de “gauge”) podem descrever o mesmo campo físico.
Para uma partícula carregada em um campo eletromagnético, as forças magnéticas (que dependem da velocidade!) podem ser incorporadas na mecânica Lagrangeana através do termo q \dot{\vec{r}} \cdot \vec{A}. O Lagrangeano para uma partícula de massa m e carga q movendo-se em um campo magnético descrito por \vec{A} é:
\mathcal{L}=\frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}^{2}+q \dot{\vec{r}} \cdot \vec{A}(\vec{r})
Observe que o termo do potencial é linear nas velocidades, uma característica fundamental das forças magnéticas. Isso leva a características únicas e contraintuitivas na formulação Hamiltoniana correspondente.

- O Problema:

Considere um campo magnético uniforme \vec{B}=B_{0} \hat{e}_{3}. Uma escolha conveniente para o potencial vetor no “gauge” simétrico é: \vec{A}=B_{0}\left(-y \hat{e}_{1}+x \hat{e}_{2}\right) / 2, que satisfaz \vec{\nabla} \times \vec{A}=B_{0} \hat{e}_{3}.

Parte 1: Construindo o Hamiltoniano

a) Partindo do Lagrangiano dado acima, mostre que os momentos canônicos são:
p_{x}=m \dot{x}-\frac{q B_{0}}{2} y, p_{y}=m \dot{y}+\frac{q B_{0}}{2} x, p_{z}=m \dot{z}
Explique, com base na definição de momento canônico, por que p_{x} e p_{y} não são iguais às componentes do momento mecânico m \dot{\vec{r}}.

Passo 1

O enunciado dá o Lagrangeano
\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^{2}+q\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}(\vec{r})
e o potencial vetor no gauge simétrico
\vec{A}= \frac{B_{0}}{2}\big(-y\,\hat{e}_{1}+x\,\hat{e}_{2}\big).
Pede-se:
  1. mostrar que os momentos canônicos são
p_{x}=m\dot{x}-\frac{qB_{0}}{2}y,\qquad p_{y}=m\dot{y}+\frac{qB_{0}}{2}x,\qquad p_{z}=m\dot{z},
e 2) explicar por que p_{x} e p_{y} não coincidem com as componentes do momento mecânico m\dot{\vec{r}}.
As informações relevantes fornecidas são: o Lagrangeano acima, a expressão de \vec{A} (logo conhecemos A_{x},A_{y},A_{z}) e a definição de momento canônico a usar para obter p_{i}.

Passo 2

Relembrando (aula rápida e prática): o momento canônico associado a uma coordenada generalizada q_{i} é definido por
p_{i}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_{i}}.
Aqui as coordenadas generalizadas são as componentes cartesianas x,y,z. Explico o que cada símbolo significa:
  • \mathcal{L} é o Lagrangeano (função das coordenadas e velocidades);
  • \dot{q}_{i} é a velocidade associada à coordenada q_{i} (por exemplo, \dot{x});
  • p_{i} é a quantidade conjugada a q_{i} que aparece depois na formulação Hamiltoniana.
Para aplicar a definição, precisamos escrever explicitamente \mathcal{L} em componentes usando os componentes de \vec{A}.

Passo 3

A partir da expressão dada para \vec{A} temos explicitamente (peguei esses dados da expressão do gauge simétrico do enunciado)
A_{x}=-\frac{B_{0}}{2}y,\qquad A_{y}=+\frac{B_{0}}{2}x,\qquad A_{z}=0.
Escrevendo \mathcal{L} em componentes:
\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\big)+q\big(\dot{x}A_{x}+\dot{y}A_{y}+\dot{z}A_{z}\big).
Substituo A_{x},A_{y},A_{z}:
\mathcal{L}=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})+q\Big(\dot{x}\big(-\tfrac{B_{0}}{2}y\big)+\dot{y}\big(\tfrac{B_{0}}{2}x\big)+\dot{z}\cdot 0\Big).

Passo 4

Agora calculo os momentos canônicos usando p_{i}=\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_{i}, fazendo derivadas parciais em relação às velocidades:
Derivada em relação a \dot{x}:
  • da parte cinética \frac{1}{2}m\dot{x}^{2} vem m\dot{x};
  • do termo de acoplamento q\dot{x}A_{x} vem qA_{x} (porque A_{x} depende só de x,y, não de \dot{x}).
    Logo
p_{x}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}+qA_{x}.
Substituindo A_{x}=-\tfrac{B_{0}}{2}y obtemos
p_{x}=m\dot{x}-\frac{qB_{0}}{2}y.

Passo 5

Faço o mesmo para \dot{y} e \dot{z}:
Para \dot{y}:
  • da parte cinética vem m\dot{y};
  • do termo de acoplamento vem qA_{y}.
    Portanto
p_{y}=m\dot{y}+qA_{y}=m\dot{y}+\frac{qB_{0}}{2}x.
Para \dot{z}:
  • da parte cinética vem m\dot{z};
  • o termo de acoplamento tem A_{z}=0, então não contribui.
    Assim
p_{z}=m\dot{z}.
Essas expressões coincidem exatamente com as que o enunciado pede para mostrar.

Passo 6

Agora a explicação didática do porquê p_{x} e p_{y} não são iguais às componentes do momento mecânico m\dot{\vec{r}}.
Defino claramente as duas quantidades:
  • momento mecânico (ou cinético) é \;m\dot{\vec{r}}\; cujas componentes são \;m\dot{x},\,m\dot{y},\,m\dot{z}\;.
  • momento canônico é p_{i}=\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_{i}, que aqui deu p_{i}=m\dot{q}_{i}+qA_{i}.
Reescrevendo,
m\dot{\vec{r}}=\vec{p}-q\vec{A}.
Ou seja, o momento mecânico é a diferença entre o momento canônico e a contribuição q\vec{A}.
Física em palavras simples: o termo q\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A} no Lagrangeano é linear nas velocidades e representa o acoplamento mínimo da partícula carregada ao potencial vetorial. Quando aplicamos a definição de momento canônico, esse termo contribui com q\vec{A} ao momento conjugado. Logo, o momento canônico contém uma parte “geométrica/gauge” q\vec{A} além da parte cinética m\dot{\vec{r}}. Por isso, em geral p_{x}\neq m\dot{x} e p_{y}\neq m\dot{y}.

Passo 7

Observações úteis para a prova e intuição prática:
  • m\dot{\vec{r}} é a quantidade associada à massa e velocidade da partícula (é o que eu chamaria de “momento físico” que aparece no termo de inércia).
  • \vec{p} é a variável conjugada que aparece na transformação de Legendre para construir o Hamiltoniano; ela depende do gauge (se você muda \vec{A} por um gradiente \nabla\chi, \vec{p} muda, mas m\dot{\vec{r}} não).
  • Uma forma rápida de lembrar na prova: sempre que houver um termo q\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A} no Lagrangeano, o momento canônico ganha um acréscimo +q\vec{A} em relação ao momento cinético.
Força extra de ânimo: esse descolamento entre os momentos é a “pegadinha” clássica em Eletrodinâmica Lagrangeana — você já mostrou exatamente onde ela aparece!

Resposta

p_{x}=m\dot{x}-\dfrac{qB_{0}}{2}y
p_{y}=m\dot{y}+\dfrac{qB_{0}}{2}x
p_{z}=m\dot{z}
Porque, pela definição p_{i}=\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_{i}, o termo q\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A} contribui com qA_{i} ao momento canônico; assim \;m\dot{\vec{r}}=\vec{p}-q\vec{A}, ou seja, o momento canônico difere do momento mecânico por q\vec{A}.

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