(6 pontos) Introdução do problema:
No eletromagnetismo, o campo magnético é frequentemente descrito usando um potencial vetor
, onde
. Esta abordagem é vantajosa porque garante automaticamente que
(não existem monopolos magnéticos). O potencial vetor não é único - diferentes escolhas (chamadas de “gauge”) podem descrever o mesmo campo físico.
Para uma partícula carregada em um campo eletromagnético, as forças magnéticas (que dependem da velocidade!) podem ser incorporadas na mecânica Lagrangeana através do termo
. O Lagrangeano para uma partícula de massa
e carga
movendo-se em um campo magnético descrito por
é:
Observe que o termo do potencial é linear nas velocidades, uma característica fundamental das forças magnéticas. Isso leva a características únicas e contraintuitivas na formulação Hamiltoniana correspondente.
- O Problema:
Considere um campo magnético uniforme
. Uma escolha conveniente para o potencial vetor no “gauge” simétrico é:
, que satisfaz
.
Parte 1: Construindo o Hamiltoniano
a) Partindo do Lagrangiano dado acima, mostre que os momentos canônicos são:
Explique, com base na definição de momento canônico, por que
e
não são iguais às componentes do momento mecânico
.
Para uma partícula carregada em um campo eletromagnético, as forças magnéticas (que dependem da velocidade!) podem ser incorporadas na mecânica Lagrangeana através do termo
Passo 1
O enunciado dá o Lagrangeano
e o potencial vetor no gauge simétrico
Pede-se:
- mostrar que os momentos canônicos são
e 2) explicar por que
e
não coincidem com as componentes do momento mecânico
.
As informações relevantes fornecidas são: o Lagrangeano acima, a expressão de
(logo conhecemos
) e a definição de momento canônico a usar para obter
.
Passo 2
Relembrando (aula rápida e prática): o momento canônico associado a uma coordenada generalizada
é definido por
Aqui as coordenadas generalizadas são as componentes cartesianas
. Explico o que cada símbolo significa:
-
é o Lagrangeano (função das coordenadas e velocidades); -
é a velocidade associada à coordenada (por exemplo, ); -
é a quantidade conjugada a que aparece depois na formulação Hamiltoniana.
Para aplicar a definição, precisamos escrever explicitamente
em componentes usando os componentes de
.
Passo 3
A partir da expressão dada para
temos explicitamente (peguei esses dados da expressão do gauge simétrico do enunciado)
Escrevendo
em componentes:
Substituo
:
Passo 4
Agora calculo os momentos canônicos usando
, fazendo derivadas parciais em relação às velocidades:
Derivada em relação a
:
- da parte cinética
vem ; - do termo de acoplamento
vem (porque depende só de , não de ).
Logo
Substituindo
obtemos
Passo 5
Faço o mesmo para
e
:
Para
:
- da parte cinética vem
; - do termo de acoplamento vem
.
Portanto
Para
:
- da parte cinética vem
; - o termo de acoplamento tem
, então não contribui.
Assim
Essas expressões coincidem exatamente com as que o enunciado pede para mostrar.
Passo 6
Agora a explicação didática do porquê
e
não são iguais às componentes do momento mecânico
.
Defino claramente as duas quantidades:
- momento mecânico (ou cinético) é
cujas componentes são . - momento canônico é
, que aqui deu .
Reescrevendo,
Ou seja, o momento mecânico é a diferença entre o momento canônico e a contribuição
.
Física em palavras simples: o termo
no Lagrangeano é linear nas velocidades e representa o acoplamento mínimo da partícula carregada ao potencial vetorial. Quando aplicamos a definição de momento canônico, esse termo contribui com
ao momento conjugado. Logo, o momento canônico contém uma parte “geométrica/gauge”
além da parte cinética
. Por isso, em geral
e
.
Passo 7
Observações úteis para a prova e intuição prática:
-
é a quantidade associada à massa e velocidade da partícula (é o que eu chamaria de “momento físico” que aparece no termo de inércia). -
é a variável conjugada que aparece na transformação de Legendre para construir o Hamiltoniano; ela depende do gauge (se você muda por um gradiente , muda, mas não). - Uma forma rápida de lembrar na prova: sempre que houver um termo
no Lagrangeano, o momento canônico ganha um acréscimo em relação ao momento cinético.
Força extra de ânimo: esse descolamento entre os momentos é a “pegadinha” clássica em Eletrodinâmica Lagrangeana — você já mostrou exatamente onde ela aparece!
Resposta
Porque, pela definição
, o termo
contribui com
ao momento canônico; assim
, ou seja, o momento canônico difere do momento mecânico por
.