traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de K:
K=0,05

Passo 1

O que o enunciado pede: traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é, representar \dfrac{C_s}{C_0} em função da fração sólida \,f_s, para o valor dado de k:
k = 0{,}05.
Informações fornecidas e relevantes:
  • O único dado numérico explícito é k=0{,}05.
  • A incógnita solicitada é a função \dfrac{C_s}{C_0}(f_s) (perfil de concentração do sólido formado conforme a solidificação avança).
  • Não há figura nem outra tabela enviada.

Passo 2

Escolha do modelo (por que usamos este método): a expressão clássica usada para traçar o perfil de concentração durante solidificação sem difusão no sólido e com mistura completa no líquido é a equação de Scheil (modelo de Scheil–Gulliver). Vou usá-la porque o enunciado pede o perfil resultante da solidificação de forma direta (é o modelo padrão para esse tipo de curva) e porque com um único k é o procedimento usual. Em resumo, assumimos:
  • difusão negligenciável no sólido (o soluto incorporado no sólido não se redistribui),
  • mistura instantânea e homogênea no líquido.
    Essas hipóteses levam à fórmula que vamos deduzir e usar.

Passo 3

Definições das variáveis e física por trás (passo-a-passo didático):
  • \,C_0 é a concentração inicial da liga (concentração média antes de começar a solidificação).
  • \,f_s é a fração sólida formada (varia de 0 a 1).
  • \,C_L é a concentração do soluto na fase líquida no instante considerado.
  • \,C_s é a concentração do soluto no sólido recém-formado (na interface).
  • \,k é o coeficiente de partição, definido por
k=\frac{C_s}{C_L},
ou seja, a fração do soluto que fica no sólido comparada com a do líquido no momento de solidificação.
Explicação física simples: quando uma pequena fração d f_s de sólido se forma, ela retira do líquido uma quantidade de soluto igual a C_s\,d f_s = k\,C_L\,d f_s, o que aumenta a concentração do líquido restante.

Passo 4

Derivação matemática detalhada da equação de Scheil:
Conservação do soluto na porção líquida dá a relação diferencial (variação do total de soluto no líquido ao formar d f_s):
d\big((1-f_s)C_L\big) = -C_s\,d f_s.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
(1-f_s)\,dC_L - C_L\,d f_s = -C_s\,d f_s.
Isolando o termo com dC_L e substituindo C_s=kC_L:
(1-f_s)\,dC_L = (C_L - C_s)\,d f_s = (1-k)C_L\,d f_s.
Dividindo por C_L(1-f_s):
\frac{dC_L}{C_L} = \frac{1-k}{1-f_s}\,d f_s.
Agora integramos desde o início da solidificação ( f_s=0,\;C_L=C_0) até um f_s genérico e C_L(f_s):
\int_{C_0}^{C_L} \frac{dC_L}{C_L} = (1-k)\int_{0}^{f_s}\frac{d f_s}{1-f_s}.
As integrais são logaritmos, resultando em
\ln\!\left(\frac{C_L}{C_0}\right) = -(1-k)\ln(1-f_s).
Exponenciando:
C_L = C_0\,(1-f_s)^{-(1-k)}.
Como C_s=kC_L, obtemos a expressão para a concentração do sólido recém-formado:
C_s = k\,C_0\,(1-f_s)^{-(1-k)}.

Passo 5

Escrevendo a relação normalizada pedida ( \dfrac{C_s}{C_0}) e simplificando o expoente:
\frac{C_s}{C_0} = k\,(1-f_s)^{-(1-k)}.
Note que podemos escrever -(1-k)=k-1, então uma forma muito usada é
\frac{C_s}{C_0} = k\,(1-f_s)^{\,k-1}.
Essa é a fórmula que vamos usar para traçar a curva.

Passo 6

Aplicando o valor numérico k=0{,}05. Substituindo em \dfrac{C_s}{C_0}:
\frac{C_s}{C_0} = 0{,}05\,(1-f_s)^{-0{,}95}.
Interpretação rápida antes de calcular pontos: como o expoente -0{,}95 é negativo (porque k<1), \dfrac{C_s}{C_0} aumenta quando f_s se aproxima de 1. Em f_s=0 temos \dfrac{C_s}{C_0}=k=0{,}05. Para frações sólidas altas a razão cresce fortemente (forte segregação no fim da solidificação).

Passo 7

Cálculo de pontos para desenhar o gráfico (mostro o procedimento de cálculo e o resultado numérico arredondado — uso logaritmos/exp para potências; os resultados já prontos servem para você traçar a curva à mão ou em software). Vou dar valores em algumas frações sólidas usuais:
Cálculo geral usado: (1-f_s)^{-0{,}95}=\exp\big(-0{,}95\ln(1-f_s)\big) e depois multiplicar por 0{,}05.
  • Para f_s=0:
\frac{C_s}{C_0} = 0{,}05\,(1-0)^{-0{,}95}=0{,}05.
  • Para f_s=0{,}1:
(1-f_s)=0{,}9,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 1{,}1053,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 1{,}1053 = 0{,}0553.
  • Para f_s=0{,}2:
(1-f_s)=0{,}8,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 1{,}2379,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 1{,}2379 = 0{,}0619.
  • Para f_s=0{,}4:
(1-f_s)=0{,}6,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 1{,}6244,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 1{,}6244 = 0{,}0812.
  • Para f_s=0{,}6:
(1-f_s)=0{,}4,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 2{,}3874,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 2{,}3874 = 0{,}1194.
  • Para f_s=0{,}8:
(1-f_s)=0{,}2,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 4{,}6125,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 4{,}6125 = 0{,}2306.
  • Para f_s=0{,}9:
(1-f_s)=0{,}1,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 8{,}916,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 8{,}916 = 0{,}4458.
  • Para f_s=0{,}95:
(1-f_s)=0{,}05,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 17{,}25,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 17{,}25 = 0{,}8625.
  • Para f_s=0{,}99:
(1-f_s)=0{,}01,\quad (1-f_s)^{-0{,}95}\approx 79{,}5,
\frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}05\cdot 79{,}5 = 3{,}975.

Passo 8

Como traçar o gráfico na prática (passos simples para você desenhar à mão):
  1. Eixos: eixo horizontal f_s de 0 a 1; eixo vertical \dfrac{C_s}{C_0}. Use escala linear no eixo f_s. No eixo vertical escolha escala que mostre bem a região entre 0 e, por exemplo, 1 (ou use escala log se quiser captar a explosão perto de f_s\to 1).
  2. Pontos a marcar (use os valores da tabela do Passo 7): (0,\,0{,}05), (0{,}1,\,0{,}0553), (0{,}2,\,0{,}0619), (0{,}4,\,0{,}0812), (0{,}6,\,0{,}1194), (0{,}8,\,0{,}2306), (0{,}9,\,0{,}4458), (0{,}95,\,0{,}8625), (0{,}99,\,3{,}975).
  3. Ligue suavemente os pontos: a curva começa em 0{,}05 quando f_s=0, cresce lentamente no início e sobe muito rapidamente quando f_s se aproxima de 1. Se usar escala log vertical, a curva ficará quase reta na parte final — útil para visualizar a segregação extrema no final da solidificação.
  4. Interprete: o sólido formado no início tem baixa concentração (igual a kC_0). No fim, a concentração do sólido recém-formado diverge (aumenta muito) porque o líquido remanescente fica cada vez mais enriquecido.
Pequena motivação: tá ficando bom — é normal a curva ser “suave” no começo e explodir no fim quando k é tão pequeno como 0{,}05: isso significa forte segregação.

Resposta

\frac{C_s}{C_0} = 0{,}05\,(1-f_s)^{-0{,}95}.
f_s=0 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}=0{,}05
f_s=0{,}1 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}0553
f_s=0{,}2 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}0619
f_s=0{,}4 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}0812
f_s=0{,}6 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}1194
f_s=0{,}8 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}2306
f_s=0{,}9 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}4458
f_s=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 0{,}8625
f_s=0{,}99 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}\approx 3{,}975

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