traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de
:
K=0,05
K=0,05
Passo 1
O que o enunciado pede: traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é, representar
em função da fração sólida
, para o valor dado de
:
Informações fornecidas e relevantes:
- O único dado numérico explícito é
. - A incógnita solicitada é a função
(perfil de concentração do sólido formado conforme a solidificação avança). - Não há figura nem outra tabela enviada.
Passo 2
Escolha do modelo (por que usamos este método): a expressão clássica usada para traçar o perfil de concentração durante solidificação sem difusão no sólido e com mistura completa no líquido é a equação de Scheil (modelo de Scheil–Gulliver). Vou usá-la porque o enunciado pede o perfil resultante da solidificação de forma direta (é o modelo padrão para esse tipo de curva) e porque com um único
é o procedimento usual. Em resumo, assumimos:
- difusão negligenciável no sólido (o soluto incorporado no sólido não se redistribui),
- mistura instantânea e homogênea no líquido.
Essas hipóteses levam à fórmula que vamos deduzir e usar.
Passo 3
Definições das variáveis e física por trás (passo-a-passo didático):
-
é a concentração inicial da liga (concentração média antes de começar a solidificação). -
é a fração sólida formada (varia de a ). -
é a concentração do soluto na fase líquida no instante considerado. -
é a concentração do soluto no sólido recém-formado (na interface). -
é o coeficiente de partição, definido por
ou seja, a fração do soluto que fica no sólido comparada com a do líquido no momento de solidificação.
Explicação física simples: quando uma pequena fração
de sólido se forma, ela retira do líquido uma quantidade de soluto igual a
, o que aumenta a concentração do líquido restante.
Passo 4
Derivação matemática detalhada da equação de Scheil:
Conservação do soluto na porção líquida dá a relação diferencial (variação do total de soluto no líquido ao formar ):
Conservação do soluto na porção líquida dá a relação diferencial (variação do total de soluto no líquido ao formar
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Isolando o termo com
e substituindo
:
Dividindo por
:
Agora integramos desde o início da solidificação (
) até um
genérico e
:
As integrais são logaritmos, resultando em
Exponenciando:
Como
, obtemos a expressão para a concentração do sólido recém-formado:
Passo 5
Escrevendo a relação normalizada pedida (
) e simplificando o expoente:
Note que podemos escrever
, então uma forma muito usada é
Essa é a fórmula que vamos usar para traçar a curva.
Passo 6
Aplicando o valor numérico
. Substituindo em
:
Interpretação rápida antes de calcular pontos: como o expoente
é negativo (porque
),
aumenta quando
se aproxima de
. Em
temos
. Para frações sólidas altas a razão cresce fortemente (forte segregação no fim da solidificação).
Passo 7
Cálculo de pontos para desenhar o gráfico (mostro o procedimento de cálculo e o resultado numérico arredondado — uso logaritmos/exp para potências; os resultados já prontos servem para você traçar a curva à mão ou em software). Vou dar valores em algumas frações sólidas usuais:
Cálculo geral usado:
e depois multiplicar por
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Como traçar o gráfico na prática (passos simples para você desenhar à mão):
- Eixos: eixo horizontal
de a ; eixo vertical . Use escala linear no eixo . No eixo vertical escolha escala que mostre bem a região entre 0 e, por exemplo, (ou use escala log se quiser captar a explosão perto de ). - Pontos a marcar (use os valores da tabela do Passo 7):
, , , , , , , , . - Ligue suavemente os pontos: a curva começa em
quando , cresce lentamente no início e sobe muito rapidamente quando se aproxima de . Se usar escala log vertical, a curva ficará quase reta na parte final — útil para visualizar a segregação extrema no final da solidificação. - Interprete: o sólido formado no início tem baixa concentração (igual a
). No fim, a concentração do sólido recém-formado diverge (aumenta muito) porque o líquido remanescente fica cada vez mais enriquecido.
Pequena motivação: tá ficando bom — é normal a curva ser “suave” no começo e explodir no fim quando
é tão pequeno como
: isso significa forte segregação.