Considere as Equações de Euler de movimento para um corpo rígido, tendo torque externo zero em torno de um ponto O fixo. Mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá as Equações de Euler de movimento para um corpo rígido em torno de um ponto
fixo, com torque externo nulo. Os dados e o pedido são:
-
Dados:onde:
-
são os momentos de inércia principais (constantes) medidos no referencial do corpo; -
são as componentes da velocidade angular no mesmo referencial; - o ponto
é fixo e o torque externo é zero (por isso aparecem zeros nas equações).
-
-
Pedido:
Mostrar queisto é, que a quantidade à esquerda é uma constante (igual a).]
Passo 2
Estratégia (curta e prática): vou mostrar que a derivada temporal da quantidade
é nula. Se
então
é constante no tempo, e podemos identificá-la com
. Agora preciso usar as equações de Euler para substituir as derivadas
.
Passo 3
Calcular a derivada temporal de
. Uso a regra da cadeia / produto para cada termo do tipo
:
Expliquei: derivada de
é
; os
são constantes e saem da derivada.
Passo 4
Agora substituo
usando as equações de Euler. Das equações:
Substituindo em
cada termo:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
-
Terceiro termo:
]
Passo 5
Somando os três resultados para obter
:
Agora simplifico o colchete. Expando cada produto:
Somando as três linhas:
Observe que os termos se cancelam em pares:
Logo o colchete é zero. Portanto
Passo 6
Como
, concluímos que
é constante no tempo. Ou seja
Podemos identificar essa constante com
(nome dado no enunciado). Fiz uma observação física útil: se definirmos as componentes do momento angular no referencial do corpo por
, então
. Com torque externo zero,
é constante no espaço, logo seu módulo é constante — é a mesma conclusão matemática acima, explicando o significado físico de
.