Considere as Equações de Euler de movimento para um corpo rígido, tendo torque externo zero em torno de um ponto O fixo. Mostre que:
I_{1}^{2} \omega_{1}^{2}+I_{2}^{2} \omega_{2}^{2}+I_{3}^{2} \omega_{3}^{2}=E_{\text {total }}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as Equações de Euler de movimento para um corpo rígido em torno de um ponto O fixo, com torque externo nulo. Os dados e o pedido são:
  • Dados:
    \begin{aligned} &I_{1}\dot{\omega}_{1} + (I_{3}-I_{2})\omega_{2}\omega_{3}=0,\\[4pt] &I_{2}\dot{\omega}_{2} + (I_{1}-I_{3})\omega_{3}\omega_{1}=0,\\[4pt] &I_{3}\dot{\omega}_{3} + (I_{2}-I_{1})\omega_{1}\omega_{2}=0, \end{aligned}
    onde:
    • \;I_{1},I_{2},I_{3}\; são os momentos de inércia principais (constantes) medidos no referencial do corpo;
    • \;\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}\; são as componentes da velocidade angular no mesmo referencial;
    • o ponto O é fixo e o torque externo é zero (por isso aparecem zeros nas equações).
  • Pedido:
    Mostrar que
    I_{1}^{2}\omega_{1}^{2} + I_{2}^{2}\omega_{2}^{2} + I_{3}^{2}\omega_{3}^{2} = E_{\text{total}}^{2},
    isto é, que a quantidade à esquerda é uma constante (igual a E_{\text{total}}^{2}).]

Passo 2

Estratégia (curta e prática): vou mostrar que a derivada temporal da quantidade
S(t)=I_{1}^{2}\omega_{1}^{2}+I_{2}^{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}^{2}\omega_{3}^{2}
é nula. Se \dfrac{dS}{dt}=0 então S é constante no tempo, e podemos identificá-la com E_{\text{total}}^{2}. Agora preciso usar as equações de Euler para substituir as derivadas \dot{\omega}_i.

Passo 3

Calcular a derivada temporal de S(t). Uso a regra da cadeia / produto para cada termo do tipo \omega_i^2:
\frac{dS}{dt} = 2I_{1}^{2}\omega_{1}\dot{\omega}_{1} + 2I_{2}^{2}\omega_{2}\dot{\omega}_{2} + 2I_{3}^{2}\omega_{3}\dot{\omega}_{3}.
Expliquei: derivada de \omega_i^2 é 2\omega_i\dot{\omega}_i; os I_i são constantes e saem da derivada.

Passo 4

Agora substituo \dot{\omega}_i usando as equações de Euler. Das equações:
\begin{aligned} \dot{\omega}_{1} &= -\frac{I_{3}-I_{2}}{I_{1}}\,\omega_{2}\omega_{3},\\[4pt] \dot{\omega}_{2} &= -\frac{I_{1}-I_{3}}{I_{2}}\,\omega_{3}\omega_{1},\\[4pt] \dot{\omega}_{3} &= -\frac{I_{2}-I_{1}}{I_{3}}\,\omega_{1}\omega_{2}. \end{aligned}
Substituindo em \dfrac{dS}{dt} cada termo:
  • Primeiro termo:
    2I_{1}^{2}\omega_{1}\dot{\omega}_{1} = 2I_{1}^{2}\omega_{1}\left(-\frac{I_{3}-I_{2}}{I_{1}}\omega_{2}\omega_{3}\right) = -2I_{1}(I_{3}-I_{2})\,\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}.
  • Segundo termo:
    2I_{2}^{2}\omega_{2}\dot{\omega}_{2} = 2I_{2}^{2}\omega_{2}\left(-\frac{I_{1}-I_{3}}{I_{2}}\omega_{3}\omega_{1}\right) = -2I_{2}(I_{1}-I_{3})\,\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}.
  • Terceiro termo:
    2I_{3}^{2}\omega_{3}\dot{\omega}_{3} = 2I_{3}^{2}\omega_{3}\left(-\frac{I_{2}-I_{1}}{I_{3}}\omega_{1}\omega_{2}\right) = -2I_{3}(I_{2}-I_{1})\,\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}.]

Passo 5

Somando os três resultados para obter \dfrac{dS}{dt}:
\frac{dS}{dt} = -2\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}\Big[\,I_{1}(I_{3}-I_{2}) + I_{2}(I_{1}-I_{3}) + I_{3}(I_{2}-I_{1})\,\Big].
Agora simplifico o colchete. Expando cada produto:
\begin{aligned} I_{1}(I_{3}-I_{2}) &= I_{1}I_{3} - I_{1}I_{2},\\[4pt] I_{2}(I_{1}-I_{3}) &= I_{2}I_{1} - I_{2}I_{3},\\[4pt] I_{3}(I_{2}-I_{1}) &= I_{3}I_{2} - I_{3}I_{1}. \end{aligned}
Somando as três linhas:
(I_{1}I_{3} - I_{1}I_{2}) + (I_{2}I_{1} - I_{2}I_{3}) + (I_{3}I_{2} - I_{3}I_{1}).
Observe que os termos se cancelam em pares:
-I_{1}I_{2} + I_{2}I_{1} = 0,\quad -I_{2}I_{3} + I_{3}I_{2} = 0,\quad I_{1}I_{3}-I_{3}I_{1}=0.
Logo o colchete é zero. Portanto
\frac{dS}{dt} = -2\omega_{1}\omega_{2}\omega_{3}\cdot 0 = 0.]

Passo 6

Como \dfrac{dS}{dt}=0, concluímos que S(t) é constante no tempo. Ou seja
I_{1}^{2}\omega_{1}^{2} + I_{2}^{2}\omega_{2}^{2} + I_{3}^{2}\omega_{3}^{2} = \text{constante}.
Podemos identificar essa constante com E_{\text{total}}^{2} (nome dado no enunciado). Fiz uma observação física útil: se definirmos as componentes do momento angular no referencial do corpo por \;L_{i}=I_{i}\omega_{i}\;, então S = L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2} = \lVert \mathbf{L}\rVert^{2}. Com torque externo zero, \mathbf{L} é constante no espaço, logo seu módulo é constante — é a mesma conclusão matemática acima, explicando o significado físico de E_{\text{total}}.

Resposta

I_{1}^{2}\omega_{1}^{2}+I_{2}^{2}\omega_{2}^{2}+I_{3}^{2}\omega_{3}^{2}=E_{\text{total}}^{2}

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