traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de K:
K: 0,8

Passo 1

O enunciado pede para traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é, a razão \dfrac{C_s}{C_0} em função da fração sólida \,f_s, para o valor do coeficiente de partição K = 0,8.
Informações relevantes dadas:
  • K = 0,8.
  • Queremos \dfrac{C_s}{C_0} como função de f_s no intervalo típico 0 \le f_s \le 1.
  • Não foi fornecida figura nem outras condições; vamos usar o modelo clássico de solidificação unidimensional que leva à expressão de Scheil (caso mais comum para esse tipo de pedido).

Passo 2

Explicando a física e as hipóteses que estamos adotando (muito importante para saber quando aplicar a fórmula): no modelo de Scheil assumimos:
  • Não há difusão no sólido recém-formado (isto é, o sólido “congela” com a composição do momento).
  • Há mistura completa do líquido (o banho líquido é homogêneo a cada instante).
  • O equilíbrio local na frente de solidificação se mantém, de modo que a composição do sólido formado instantaneamente satisfaz a relação de partição K.
Definições das variáveis (para ficar bem claro):
  • C_0 = concentração inicial global da liga (antes de solidificar).
  • C_l = concentração do líquido em equilíbrio com o sólido na interface em certo instante.
  • C_s = concentração do sólido formado naquele instante (composição do sólido recém-formado).
  • f_s = fração sólida já formada (variando de 0 a 1).
  • K = coeficiente de partição definido por K=\dfrac{C_s}{C_l} no equilíbrio de interfase.

Passo 3

Montando o balanço diferencial de massa para o líquido e usando a condição de partição.
Considere um pequeno incremento de solidificação df_s. A massa de soluto removida do líquido ao formar esse incremento de sólido é C_s\,df_s. A massa total de soluto presente no líquido é (1-f_s)C_l. A conservação do soluto em diferencial fornece:
d\big((1-f_s)C_l\big) = -C_s\,df_s.
Expandindo o lado esquerdo:
(1-f_s)\,dC_l - C_l\,df_s = -C_s\,df_s.
Use C_s = K\,C_l (condição de partição) para eliminar C_s:
(1-f_s)\,dC_l - C_l\,df_s = -K\,C_l\,df_s.
Rearranjando termos:
(1-f_s)\,dC_l = (1-K)\,C_l\,df_s.

Passo 4

Agora separamos variáveis e integramos para obter C_l(f_s).
Dividindo por C_l(1-f_s):
\frac{dC_l}{C_l} = \frac{1-K}{1-f_s}\,df_s.
Integramos desde f_s=0 (onde C_l=C_0) até um f_s genérico:
\int_{C_0}^{C_l} \frac{dC_l'}{C_l'} = (1-K)\int_{0}^{f_s} \frac{df_s'}{1-f_s'}.
As integrais dão:
\ln\!\left(\frac{C_l}{C_0}\right) = -(1-K)\ln(1-f_s).
Então:
C_l = C_0\,(1-f_s)^{-(1-K)}.

Passo 5

Usando C_s = K\,C_l obtemos a expressão de Scheil para a composição do sólido formado instantaneamente:
C_s = K\,C_0\,(1-f_s)^{-(1-K)}.
Escrevendo na forma normalizada pedida:
\frac{C_s}{C_0} = K\,(1-f_s)^{-(1-K)}.
Observação sobre o expoente: como muitas referências escrevem (1-f_s)^{K-1}, note que -(1-K)=K-1, então as duas formas são equivalentes:
\frac{C_s}{C_0} = K\,(1-f_s)^{K-1}.

Passo 6

Substituímos K=0,8. O expoente fica K-1 = 0,8-1 = -0,2. Assim:
\boxed{\frac{C_s}{C_0} = 0,8\,(1-f_s)^{-0,2}.}
Interpretação imediata: como o expoente é negativo, \dfrac{C_s}{C_0} aumenta com f_s. Ou seja, o sólido formado nos estágios finais será cada vez mais enriquecido em soluto (segregação), e quando f_s\to 1 a expressão diverge (comportamento assintótico devido ao acúmulo do soluto na pouca massa de líquido restante).

Passo 7

Para ajudar a desenhar/traçar a curva na prova, aqui vai uma tabela de pontos úteis (aproximações feitas com cálculo de expoente; você pode usá-las para esboçar a curva):
  • f_s=0: \dfrac{C_s}{C_0} = 0,8\,(1)^{-0,2} = 0,8.
  • f_s=0,2: \dfrac{C_s}{C_0} \approx 0,8\,(0,8)^{-0,2} \approx 0,8\cdot 1,0456 \approx 0,837.
  • f_s=0,5: \dfrac{C_s}{C_0} \approx 0,8\,(0,5)^{-0,2} \approx 0,8\cdot 1,1487 \approx 0,919.
  • f_s=0,8: \dfrac{C_s}{C_0} \approx 0,8\,(0,2)^{-0,2} \approx 0,8\cdot 1,3790 \approx 1,103.
  • f_s=0,95: \dfrac{C_s}{C_0} \approx 0,8\,(0,05)^{-0,2} \approx 0,8\cdot 1,820 \approx 1,456.
Esses pontos mostram claramente: começa em 0,8 (quando f_s=0), cresce lentamente no início e acelera o crescimento conforme f_s se aproxima de 1.

Passo 8

Como traçar a curva na prova (passo a passo prático):
  1. No eixo horizontal coloque f_s de 0 a 1. No eixo vertical coloque \dfrac{C_s}{C_0}.
  2. Marque o ponto inicial em (0,\,0,8).
  3. Plote os pontos da tabela: (0,\,0,8), (0,2,\,0,837), (0,5,\,0,919), (0,8,\,1,103), (0,95,\,1,456).
  4. Una os pontos com uma curva suave que cresce lentamente no começo e sobe mais rapidamente perto de f_s=1. Não espere que a curva seja linear — ela é levemente convexa para cima por causa do expoente negativo.
  5. Adicione uma nota: a curva tende para infinito quando f_s\to1 no modelo de Scheil (representando segregação do soluto na última fração de líquido).
Dica de linguagem para a prova: escreva as hipóteses do modelo (sem difusão no sólido, mistura completa no líquido), derive rapidamente a expressão e já substitua K=0,8. Isso costuma ganhar pontos porque mostra entendimento do modelo.

Resposta

\dfrac{C_s}{C_0}=0,8\,(1-f_s)^{-0,2}
\dfrac{C_s}{C_0}(f_s=0)=0,8
\dfrac{C_s}{C_0}(f_s=0,2)\approx0,837
\dfrac{C_s}{C_0}(f_s=0,5)\approx0,919
\dfrac{C_s}{C_0}(f_s=0,8)\approx1,103
\dfrac{C_s}{C_0}(f_s=0,95)\approx1,456

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