traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de
:
Passo 1
O enunciado pede para traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é, a razão
em função da fração sólida
, para o valor do coeficiente de partição
.
Informações relevantes dadas:
-
. - Queremos
como função de no intervalo típico . - Não foi fornecida figura nem outras condições; vamos usar o modelo clássico de solidificação unidimensional que leva à expressão de Scheil (caso mais comum para esse tipo de pedido).
Passo 2
Explicando a física e as hipóteses que estamos adotando (muito importante para saber quando aplicar a fórmula): no modelo de Scheil assumimos:
- Não há difusão no sólido recém-formado (isto é, o sólido “congela” com a composição do momento).
- Há mistura completa do líquido (o banho líquido é homogêneo a cada instante).
- O equilíbrio local na frente de solidificação se mantém, de modo que a composição do sólido formado instantaneamente satisfaz a relação de partição
.
Definições das variáveis (para ficar bem claro):
-
= concentração inicial global da liga (antes de solidificar). -
= concentração do líquido em equilíbrio com o sólido na interface em certo instante. -
= concentração do sólido formado naquele instante (composição do sólido recém-formado). -
= fração sólida já formada (variando de a ). -
= coeficiente de partição definido por no equilíbrio de interfase.
Passo 3
Montando o balanço diferencial de massa para o líquido e usando a condição de partição.
Considere um pequeno incremento de solidificação
. A massa de soluto removida do líquido ao formar esse incremento de sólido é
. A massa total de soluto presente no líquido é
. A conservação do soluto em diferencial fornece:
Expandindo o lado esquerdo:
Use
(condição de partição) para eliminar
:
Rearranjando termos:
Passo 4
Agora separamos variáveis e integramos para obter
.
Dividindo por
:
Integramos desde
(onde
) até um
genérico:
As integrais dão:
Então:
Passo 5
Usando
obtemos a expressão de Scheil para a composição do sólido formado instantaneamente:
Escrevendo na forma normalizada pedida:
Observação sobre o expoente: como muitas referências escrevem
, note que
, então as duas formas são equivalentes:
Passo 6
Substituímos
. O expoente fica
. Assim:
Interpretação imediata: como o expoente é negativo,
aumenta com
. Ou seja, o sólido formado nos estágios finais será cada vez mais enriquecido em soluto (segregação), e quando
a expressão diverge (comportamento assintótico devido ao acúmulo do soluto na pouca massa de líquido restante).
Passo 7
Para ajudar a desenhar/traçar a curva na prova, aqui vai uma tabela de pontos úteis (aproximações feitas com cálculo de expoente; você pode usá-las para esboçar a curva):
-
: -
: -
: -
: -
:
Esses pontos mostram claramente: começa em
(quando
), cresce lentamente no início e acelera o crescimento conforme
se aproxima de
.
Passo 8
Como traçar a curva na prova (passo a passo prático):
- No eixo horizontal coloque
de a . No eixo vertical coloque . - Marque o ponto inicial em
. - Plote os pontos da tabela:
, , , , . - Una os pontos com uma curva suave que cresce lentamente no começo e sobe mais rapidamente perto de
. Não espere que a curva seja linear — ela é levemente convexa para cima por causa do expoente negativo. - Adicione uma nota: a curva tende para infinito quando
no modelo de Scheil (representando segregação do soluto na última fração de líquido).
Dica de linguagem para a prova: escreva as hipóteses do modelo (sem difusão no sólido, mistura completa no líquido), derive rapidamente a expressão e já substitua
. Isso costuma ganhar pontos porque mostra entendimento do modelo.