traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de
:
K:2
K:2
Passo 1
O que o enunciado pede: traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é a razão
em função da fração sólida
, para o valor dado de
, onde
.\n
Informações fornecidas e variáveis que vamos usar:
Informações fornecidas e variáveis que vamos usar:
-
(coeficiente de partição): dado como .\n -
: concentração inicial do soluto antes da solidificação (constante de referência).\n -
: concentração do soluto na fase sólida (a ser expressa em função de ).\n -
: concentração do soluto na fase líquida (pode aparecer nos cálculos).\n -
: fração sólida formada, varia de a .\n
O objetivo concreto: obter a expressão analíticacomo função de para , e indicar como é a curva (pontos chave e forma). Não começamos a resolver ainda — só organizamos o que foi pedido.
Passo 2
Escolha do modelo e hipóteses (explicação didática):\n
Vou usar o modelo de solidificação de equilíbrio com difusão completa nas fases (modelo mais básico e comum para começar). Nesse modelo:
Vou usar o modelo de solidificação de equilíbrio com difusão completa nas fases (modelo mais básico e comum para começar). Nesse modelo:
- Assume-se que durante a solidificação o material sólido e o líquido permanecem bem misturados dentro de cada fase, de modo que cada fase tem uma concentração uniformemente definida em cada instante.
- A condição de equilíbrio na interface dá a relação entre as concentrações nas fases:
.\n
Observação curta sobre alternativas: existe o modelo de Scheil (que assume sem difusão no sólido), que leva a outra expressão (potência). Não usamos Scheil aqui porque o enunciado não pediu explicitamente e o método de equilíbrio/lever rule é o mais básico e direto.
Passo 3
Conservação de massa (montando a equação) — explicação passo a passo:\n
A conservação do soluto durante a solidificação diz que a concentração média total é a média ponderada das concentrações nas duas fases, com pesos iguais às frações volumétricas:
A conservação do soluto durante a solidificação diz que a concentração média total
Aqui:
-
é a fração do soluto que está no sólido (fração sólida vezes concentração sólida);\n -
é a fração do soluto que está no líquido.\n
Além disso, pela definição do coeficiente de partição temos:
Substituímos essa segunda equação na conservação de massa para eliminar
. Passo a passo:
Factorizando
:
Rearranjando para achar
:
Passo 4
Encontrando
e escrevendo
— álgebra e interpretação:\n
Usamos . Substituindo o
que obtivemos:
Usamos
Dividindo ambos os lados por
para obter a razão pedida:
Esta é a expressão geral (lever rule / equilíbrio). Podemos rearranjar o denominador como
, porque
Logo a forma elegante é
Passo 5
Aplicando
e simplificando — contas claras (sem pular etapas):\n
Substituindo em
:
Primeiro calcule :
.\n
Então \n
Portanto, com obtemos:
Substituindo
Primeiro calcule
Então
Portanto, com
Domínio:
.\n
Valores nos extremos (verificação rápida):
Valores nos extremos (verificação rápida):
- Para
: .\n - Para
: .\n
Interpretação física curta: como, o soluto prefere a fase sólida, então o sólido inicial (pequena fração sólida) fica enriquecido em relação a ; à medida que cresce, decresce até voltar ao valor médio quando todo o material já está sólido.
Passo 6
Forma da curva, derivadas e pontos amostrados para esboço rápido (sem calculadora):\n
Derivada para saber monotonicidade:
Derivada para saber monotonicidade:
portanto a função é estritamente decrescente em
.\n
Segunda derivada:
Segunda derivada:
ou seja, a curva é côncava para cima (convexa), isto é, decresce com inclinação que fica menos negativa à medida que
cresce.\n
Alguns pontos fáceis para traçar sem calculadora (usar frações exatas):
Alguns pontos fáceis para traçar sem calculadora (usar frações exatas):
-
.\n -
\n -
\n -
\n -
\n
Para esboçar: marque os pontos acima no planoe ligue com uma curva suave decrescente e convexa (sem quedas bruscas). No começo (próximo a ) o valor começa em e cai rapidamente; à medida que se aproxima de a queda diminui e o valor tende a .
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como fazer rápido e sem erro):\n
- Memorize a equação geral de equilíbrio:
. Ela vem direto da conservação de massa + .\n - Para
espere para (sólido enriquecido inicialmente); para o comportamento é o inverso.\n - Para traçar a curva, calcule 3 pontos (início, meio, fim) e faça uma curva suave atendendo ao sinal da derivada (aqui decrescente) e à concavidade (aqui côncava para cima).
Resposta
Pontos úteis: