traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de K:
K:2

Passo 1

O que o enunciado pede: traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é a razão \frac{C_s}{C_0} em função da fração sólida f_s, para o valor dado de K, onde K=2.\n
Informações fornecidas e variáveis que vamos usar:
  • K (coeficiente de partição): dado como K=2.\n
  • C_0: concentração inicial do soluto antes da solidificação (constante de referência).\n
  • C_s: concentração do soluto na fase sólida (a ser expressa em função de f_s).\n
  • C_l: concentração do soluto na fase líquida (pode aparecer nos cálculos).\n
  • f_s: fração sólida formada, varia de 0 a 1.\n
    O objetivo concreto: obter a expressão analítica \frac{C_s}{C_0} como função de f_s para K=2, e indicar como é a curva (pontos chave e forma). Não começamos a resolver ainda — só organizamos o que foi pedido.

Passo 2

Escolha do modelo e hipóteses (explicação didática):\n
Vou usar o modelo de solidificação de equilíbrio com difusão completa nas fases (modelo mais básico e comum para começar). Nesse modelo:
  • Assume-se que durante a solidificação o material sólido e o líquido permanecem bem misturados dentro de cada fase, de modo que cada fase tem uma concentração uniformemente definida em cada instante.
  • A condição de equilíbrio na interface dá a relação entre as concentrações nas fases: K=\dfrac{C_s}{C_l}.\n
    Observação curta sobre alternativas: existe o modelo de Scheil (que assume sem difusão no sólido), que leva a outra expressão (potência). Não usamos Scheil aqui porque o enunciado não pediu explicitamente e o método de equilíbrio/lever rule é o mais básico e direto.

Passo 3

Conservação de massa (montando a equação) — explicação passo a passo:\n
A conservação do soluto durante a solidificação diz que a concentração média total C_0 é a média ponderada das concentrações nas duas fases, com pesos iguais às frações volumétricas:
C_0 = f_s\,C_s + (1-f_s)\,C_l.
Aqui:
  • f_s\,C_s é a fração do soluto que está no sólido (fração sólida vezes concentração sólida);\n
  • (1-f_s)\,C_l é a fração do soluto que está no líquido.\n
    Além disso, pela definição do coeficiente de partição temos:
C_s = K\,C_l.
Substituímos essa segunda equação na conservação de massa para eliminar C_s. Passo a passo:
C_0 = f_s (K C_l) + (1-f_s) C_l.
Factorizando C_l:
C_0 = C_l\bigl(f_s K + 1 - f_s\bigr).
Rearranjando para achar C_l:
C_l = \dfrac{C_0}{\,1 - f_s + f_s K\,}.

Passo 4

Encontrando C_s e escrevendo \dfrac{C_s}{C_0} — álgebra e interpretação:\n
Usamos C_s = K C_l. Substituindo o C_l que obtivemos:
C_s = K \cdot \dfrac{C_0}{\,1 - f_s + f_s K\,}.
Dividindo ambos os lados por C_0 para obter a razão pedida:
\frac{C_s}{C_0} = \frac{K}{\,1 - f_s + f_s K\,}.
Esta é a expressão geral (lever rule / equilíbrio). Podemos rearranjar o denominador como 1 - f_s(1-K), porque
1 - f_s + f_s K = 1 - f_s(1-K).
Logo a forma elegante é
\frac{C_s}{C_0} = \frac{K}{\,1 - f_s(1-K)\,}.

Passo 5

Aplicando K=2 e simplificando — contas claras (sem pular etapas):\n
Substituindo K=2 em \frac{C_s}{C_0} = \dfrac{K}{1 - f_s(1-K)}:
Primeiro calcule 1-K: 1 - K = 1 - 2 = -1.\n
Então 1 - f_s(1-K) = 1 - f_s(-1) = 1 + f_s.\n
Portanto, com K=2 obtemos:
\frac{C_s}{C_0} = \frac{2}{\,1 + f_s\,}.
Domínio: f_s\in[0,1].\n
Valores nos extremos (verificação rápida):
  • Para f_s=0: \dfrac{C_s}{C_0} = \dfrac{2}{1+0} = 2.\n
  • Para f_s=1: \dfrac{C_s}{C_0} = \dfrac{2}{1+1} = \dfrac{2}{2} = 1.\n
    Interpretação física curta: como K>1, o soluto prefere a fase sólida, então o sólido inicial (pequena fração sólida) fica enriquecido em relação a C_0; à medida que f_s cresce, \dfrac{C_s}{C_0} decresce até voltar ao valor médio 1 quando todo o material já está sólido.

Passo 6

Forma da curva, derivadas e pontos amostrados para esboço rápido (sem calculadora):\n
Derivada para saber monotonicidade:
\frac{d}{d f_s}\left(\frac{2}{1+f_s}\right) = -\frac{2}{(1+f_s)^2}<0,
portanto a função é estritamente decrescente em 0\le f_s\le1.\n
Segunda derivada:
\frac{d^2}{d f_s^2}\left(\frac{2}{1+f_s}\right) = \frac{4}{(1+f_s)^3}>0,
ou seja, a curva é côncava para cima (convexa), isto é, decresce com inclinação que fica menos negativa à medida que f_s cresce.\n
Alguns pontos fáceis para traçar sem calculadora (usar frações exatas):
  • f_s=0 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}=2.\n
  • f_s=\tfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}=\dfrac{2}{1+\tfrac{1}{4}}=\dfrac{2}{\tfrac{5}{4}}=\dfrac{8}{5}=1,6.\n
  • f_s=\tfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}=\dfrac{2}{1+\tfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{4}{3}\approx 1,333\ldots.\n
  • f_s=\tfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}=\dfrac{2}{1+\tfrac{3}{4}}=\dfrac{2}{\tfrac{7}{4}}=\dfrac{8}{7}\approx 1,142857\ldots.\n
  • f_s=1 \Rightarrow \dfrac{C_s}{C_0}=1.\n
    Para esboçar: marque os pontos acima no plano (f_s,\;C_s/C_0) e ligue com uma curva suave decrescente e convexa (sem quedas bruscas). No começo (próximo a f_s=0) o valor começa em 2 e cai rapidamente; à medida que f_s se aproxima de 1 a queda diminui e o valor tende a 1.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (como fazer rápido e sem erro):\n
  • Memorize a equação geral de equilíbrio: \dfrac{C_s}{C_0}=\dfrac{K}{1 - f_s(1-K)}. Ela vem direto da conservação de massa + C_s=K C_l.\n
  • Para K>1 espere \dfrac{C_s}{C_0}>1 para f_s<1 (sólido enriquecido inicialmente); para K<1 o comportamento é o inverso.\n
  • Para traçar a curva, calcule 3 pontos (início, meio, fim) e faça uma curva suave atendendo ao sinal da derivada (aqui decrescente) e à concavidade (aqui côncava para cima).

Resposta

\displaystyle \frac{C_s}{C_0}=\frac{2}{1+f_s}\n
Pontos úteis: f_s=0\Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=2;; f_s=\tfrac{1}{4}\Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=\tfrac{8}{5}=1,6;; f_s=\tfrac{1}{2}\Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=\tfrac{4}{3}\approx1,333;; f_s=\tfrac{3}{4}\Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=\tfrac{8}{7}\approx1,142857;; f_s=1\Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=1.

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