traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de
:
K: 0,01
K: 0,01
Passo 1
O que o enunciado pede: traçar o perfil de concentração resultante da solidificação, ou seja mostrar como varia
em função da fração sólida
, para o valor dado de
.
Informações dadas e a serem usadas:
- O coeficiente de partição é
. - A variável independente é a fração sólida
, que varia no intervalo . - A grandeza buscada é a concentração no sólido normalizada pela concentração inicial:
como função de .
Passo 2
Entender as variáveis e escrever a conservação de soluto (fórmula-base que usamos antes de qualquer manipulação). Vou explicar bem devagar os símbolos:
-
= concentração inicial de soluto no sistema (antes de solidificar). -
= fração sólida (por massa ou volume, assumimos unidade inicial). -
= concentração do soluto na fase líquida (uniforme no Scheil). -
= concentração do soluto na fração sólida recém-formada (na interface). -
= coeficiente de partição, definido por (valor dado: ).
A equação de conservação de massa do soluto (por unidade de massa total inicial) é:
Isto diz: soluto total = soluto que está ainda no líquido + soluto já incorporado ao sólido.
Passo 3
Impor equilíbrio local no interfase (definição de
). Isso é:
Explico:
relaciona instantaneamente a composição do sólido formado com a composição do líquido no ponto de solidificação.
Substituímos essa relação na conservação de massa quando for preciso, mas antes derivamos a equação diferencial que leva à solução conhecida (o esquema de Scheil).
Passo 4
Derivação diferencial (passo-a-passo matemático):
Quando se forma uma pequena quantidade adicional de sólido , a massa de soluto no líquido muda. Escrevemos a variação da quantidade de soluto no líquido:
Quando se forma uma pequena quantidade adicional de sólido
Explicando: o lado esquerdo é a variação da quantidade de soluto que resta no líquido; o lado direito é o soluto extra removido para formar
de sólido (positivo quando sólida aumenta, por isso o sinal - na quantidade líquida).
Agora expandimos o lado esquerdo:
Igualando às duas expressões e substituindo
:
Rearranjando termos que contêm
e
:
Agora isolamos a forma de integrar:
Passo 5
Integrar a equação diferencial entre condições iniciais (quando
,
) e uma fração sólida genérica
:
Cálculo das integrais:
- Esquerda:
. - Direita:
.
Logo:
Aplicando exponencial:
Passo 6
Obter a expressão para a concentração do sólido e escrever a relação normalizada pedida:
Como , substituindo obtemos
Como
Portanto a forma normalizada (o que o enunciado pediu) é
Isto é a equação de Scheil para a composição do sólido recém-formado, derivada passo a passo acima. Cada termo significa:
-
é o coeficiente de partição (pequeno indica forte segregação). -
descreve a evolução por mistura no líquido e ausência de difusão no sólido.
Passo 7
Aplicar o valor numérico
. Substituindo na expressão:
Observe: o expoente
é negativo e próximo de
. Isso indica que, conforme
se aproxima de
, o fator
cresce muito — ou seja, o último material solidificado fica muito enriquecido em soluto.
Passo 8
Cálculo de valores numéricos exemplares (para você poder traçar o gráfico à mão ou checar em uma calculadora). Vou mostrar como calculei (uso a forma exponencial):
Agora alguns pontos úteis (aproximações arrendondas):
-
(início: sólido inicial tem vezes a concentração). -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
(note o salto enorme nos últimos centésimos).
Expliquei os cálculos: para cada ponto calculei
, multipliquei por
, fiz exponencial e multipliquei por
.
Passo 9
Como traçar o gráfico (dicas práticas):
- No papel: eixo horizontal
de a ; eixo vertical . - Plote os pontos do Passo 8; você verá uma curva muito baixa (próxima de
) na maior parte da solidificação e então um aumento dramático quando se aproxima de . - Recomendo usar escala logarítmica no eixo vertical se quiser ver detalhes em todo o intervalo (pois os valores variam por ordens de grandeza perto de
). - Interpretação física: para
(aqui ) ocorre forte segregação; o último metal a solidificar fica muito rico em soluto.
Passo 10
Resumo pedagógico e motivação final: a equação de Scheil que derivamos é a ferramenta padrão quando se assume mistura perfeita no líquido e ausência de difusão no sólido. Ela mostra por que ligas com
muito pequeno apresentam concentração muito alta do soluto no final da solidificação — e por isso podem ter problemas como segregação, precipitação tardia, etc. Você já tem a expressão analítica e pontos numéricos para traçar a curva e entender o comportamento. Vai dar certo na prova — eu sei que parece muita conta, mas a fórmula final é simples e poderosa.
Resposta
Valores exemplares:\n