traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de K:
K: 0,01

Passo 1

O que o enunciado pede: traçar o perfil de concentração resultante da solidificação, ou seja mostrar como varia \displaystyle \frac{C_s}{C_0} em função da fração sólida \displaystyle f_s, para o valor dado de K.
Informações dadas e a serem usadas:
  • O coeficiente de partição é \displaystyle K=0{,}01.
  • A variável independente é a fração sólida \displaystyle f_s, que varia no intervalo [0,1].
  • A grandeza buscada é a concentração no sólido normalizada pela concentração inicial: \displaystyle \frac{C_s}{C_0} como função de \displaystyle f_s.

Passo 2

Entender as variáveis e escrever a conservação de soluto (fórmula-base que usamos antes de qualquer manipulação). Vou explicar bem devagar os símbolos:
  • \displaystyle C_0 = concentração inicial de soluto no sistema (antes de solidificar).
  • \displaystyle f_s = fração sólida (por massa ou volume, assumimos unidade inicial).
  • \displaystyle C_L = concentração do soluto na fase líquida (uniforme no Scheil).
  • \displaystyle C_s = concentração do soluto na fração sólida recém-formada (na interface).
  • \displaystyle K = coeficiente de partição, definido por \displaystyle K=\frac{C_s}{C_L} (valor dado: 0{,}01).
A equação de conservação de massa do soluto (por unidade de massa total inicial) é:
C_0 = (1 - f_s)\,C_L + f_s\,C_s.
Isto diz: soluto total = soluto que está ainda no líquido + soluto já incorporado ao sólido.

Passo 3

Impor equilíbrio local no interfase (definição de K). Isso é:
C_s = K\,C_L.
Explico: K relaciona instantaneamente a composição do sólido formado com a composição do líquido no ponto de solidificação.
Substituímos essa relação na conservação de massa quando for preciso, mas antes derivamos a equação diferencial que leva à solução conhecida (o esquema de Scheil).

Passo 4

Derivação diferencial (passo-a-passo matemático):
Quando se forma uma pequena quantidade adicional de sólido \mathrm{d}f_s, a massa de soluto no líquido muda. Escrevemos a variação da quantidade de soluto no líquido:
\mathrm{d}\big[(1 - f_s)C_L\big] = - C_s\,\mathrm{d}f_s.
Explicando: o lado esquerdo é a variação da quantidade de soluto que resta no líquido; o lado direito é o soluto extra removido para formar \mathrm{d}f_s de sólido (positivo quando sólida aumenta, por isso o sinal - na quantidade líquida).
Agora expandimos o lado esquerdo:
\mathrm{d}\big[(1 - f_s)C_L\big] = -C_L\,\mathrm{d}f_s + (1 - f_s)\,\mathrm{d}C_L.
Igualando às duas expressões e substituindo C_s = K C_L:
- C_L\,\mathrm{d}f_s + (1 - f_s)\,\mathrm{d}C_L = - K C_L\,\mathrm{d}f_s.
Rearranjando termos que contêm \mathrm{d}C_L e \mathrm{d}f_s:
(1 - f_s)\,\mathrm{d}C_L = C_L(1 - K)\,\mathrm{d}f_s.
Agora isolamos a forma de integrar:
\frac{\mathrm{d}C_L}{C_L} = \frac{1 - K}{1 - f_s}\,\mathrm{d}f_s.

Passo 5

Integrar a equação diferencial entre condições iniciais (quando \,f_s=0, \,C_L=C_0) e uma fração sólida genérica f_s:
\int_{C_0}^{C_L}\frac{\mathrm{d}C_L}{C_L} = (1 - K)\int_{0}^{f_s}\frac{\mathrm{d}f_s}{1 - f_s}.
Cálculo das integrais:
  • Esquerda: \displaystyle \ln\!\bigg(\frac{C_L}{C_0}\bigg).
  • Direita: \displaystyle -(1 - K)\ln(1 - f_s).
Logo:
\ln\!\bigg(\frac{C_L}{C_0}\bigg) = -(1 - K)\ln(1 - f_s).
Aplicando exponencial:
\frac{C_L}{C_0} = (1 - f_s)^{-(1 - K)} = (1 - f_s)^{K - 1}.

Passo 6

Obter a expressão para a concentração do sólido e escrever a relação normalizada pedida:
Como \displaystyle C_s = K\,C_L, substituindo obtemos
C_s = K\,C_0\,(1 - f_s)^{K - 1}.
Portanto a forma normalizada (o que o enunciado pediu) é
\boxed{\displaystyle \frac{C_s}{C_0} = K\,(1 - f_s)^{\,K - 1}.}
Isto é a equação de Scheil para a composição do sólido recém-formado, derivada passo a passo acima. Cada termo significa:
  • K é o coeficiente de partição (pequeno indica forte segregação).
  • (1 - f_s)^{K-1} descreve a evolução por mistura no líquido e ausência de difusão no sólido.

Passo 7

Aplicar o valor numérico \displaystyle K=0{,}01. Substituindo na expressão:
\frac{C_s}{C_0} = 0{,}01\,(1 - f_s)^{-0{,}99}.
Observe: o expoente K-1 = -0{,}99 é negativo e próximo de -1. Isso indica que, conforme \displaystyle f_s se aproxima de 1, o fator (1 - f_s)^{-0{,}99} cresce muito — ou seja, o último material solidificado fica muito enriquecido em soluto.

Passo 8

Cálculo de valores numéricos exemplares (para você poder traçar o gráfico à mão ou checar em uma calculadora). Vou mostrar como calculei (uso a forma exponencial):
\frac{C_s}{C_0} = 0{,}01\exp\big(-0{,}99\ln(1 - f_s)\big).
Agora alguns pontos úteis (aproximações arrendondas):
  • \displaystyle f_s=0 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=0{,}01 (início: sólido inicial tem K vezes a concentração).
  • \displaystyle f_s=0{,}1 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}01110.
  • \displaystyle f_s=0{,}2 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}01247.
  • \displaystyle f_s=0{,}4 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}01658.
  • \displaystyle f_s=0{,}6 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}02478.
  • \displaystyle f_s=0{,}8 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}04921.
  • \displaystyle f_s=0{,}9 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}09773.
  • \displaystyle f_s=0{,}95 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}1942.
  • \displaystyle f_s=0{,}99 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}9556.
  • \displaystyle f_s=0{,}999 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 9{,}306 (note o salto enorme nos últimos centésimos).
Expliquei os cálculos: para cada ponto calculei \ln(1-f_s), multipliquei por -0{,}99, fiz exponencial e multipliquei por 0{,}01.

Passo 9

Como traçar o gráfico (dicas práticas):
  • No papel: eixo horizontal \displaystyle f_s de 0 a 1; eixo vertical \displaystyle C_s/C_0.
  • Plote os pontos do Passo 8; você verá uma curva muito baixa (próxima de 0{,}01) na maior parte da solidificação e então um aumento dramático quando \displaystyle f_s se aproxima de 1.
  • Recomendo usar escala logarítmica no eixo vertical se quiser ver detalhes em todo o intervalo (pois os valores variam por ordens de grandeza perto de f_s=1).
  • Interpretação física: para K\ll 1 (aqui 0{,}01) ocorre forte segregação; o último metal a solidificar fica muito rico em soluto.

Passo 10

Resumo pedagógico e motivação final: a equação de Scheil que derivamos é a ferramenta padrão quando se assume mistura perfeita no líquido e ausência de difusão no sólido. Ela mostra por que ligas com K muito pequeno apresentam concentração muito alta do soluto no final da solidificação — e por isso podem ter problemas como segregação, precipitação tardia, etc. Você já tem a expressão analítica e pontos numéricos para traçar a curva e entender o comportamento. Vai dar certo na prova — eu sei que parece muita conta, mas a fórmula final é simples e poderosa.

Resposta

\displaystyle \frac{C_s}{C_0}=K(1-f_s)^{\,K-1} com K=0{,}01, ou seja \displaystyle \frac{C_s}{C_0}=0{,}01(1-f_s)^{-0{,}99}.\n
Valores exemplares:\n
\displaystyle f_s=0 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}=0{,}01\n
\displaystyle f_s=0{,}1 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}01110\n
\displaystyle f_s=0{,}2 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}01247\n
\displaystyle f_s=0{,}4 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}01658\n
\displaystyle f_s=0{,}6 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}02478\n
\displaystyle f_s=0{,}8 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}04921\n
\displaystyle f_s=0{,}9 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}09773\n
\displaystyle f_s=0{,}95 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}1942\n
\displaystyle f_s=0{,}99 \Rightarrow \frac{C_s}{C_0}\approx 0{,}9556

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