traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de
:
Passo 1
O enunciado pede que eu trace a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é, que eu apresente
em função da fração sólida
para o valor do coeficiente de partição
dado.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
-
. - A incógnita a ser representada é a razão
(concentração no sólido normalizada pela concentração inicial). - A variável independente é a fração sólida
, que varia no intervalo .
Passo 2
Escolha do modelo (explicação curta e por que): vou usar a equação de Scheil para solidificação. Essa escolha segue porque o problema pede o “perfil de concentração resultante da solidificação” sem especificar difusão no sólido; o modelo de Scheil é o mais usado para obter rapidamente o perfil quando se assume difusão desprezível no sólido e mistura completa no líquido. Se o seu professor quisesse o caso de equilíbrio com difusão completa no sólido (regra da alavanca), o enunciado normalmente diz. Então uso Scheil. Agora explico e derivo com calma.
Passo 3
Assunções do modelo de Scheil (importante entender):
- Não há difusão no sólido formado (cada porção sólida congela com a composição do líquido na interface e fica “congelada”).
- O líquido permanece perfeitamente misturado (concentração uniforme
no banho líquido). - Na interface sólido-líquido vale o equilíbrio local
, onde é a concentração do soluto no sólido recém-formado, é a concentração do líquido na interface e é o coeficiente de partição.
Passo 4
Equações e conservação de massa (passo a passo):
- Seja
a concentração inicial total (antes da solidificação), a fração sólida formada até um dado instante, a concentração do líquido restante e a concentração do sólido que está se formando. - A condição de equilíbrio local dá:
- Conservação do soluto para uma pequena variação: quando forma um elemento de sólido
, a quantidade de soluto retirada do líquido é . A variação de soluto no líquido é dada por . Assim:
- Reorganizando:
Passo 5
Integração (mostrar cada etapa):
- Integro ambos os lados do estado inicial
até um genérico e :
- As integrais resolvem-se facilmente:
- Exponenciando:
Observação importante: a forma acima aparece dependendo de como escrevemos a conservação diferencial. A forma clássica e usada na literatura para Scheil é
porque a equação diferencial foi obtida usando
e com
leva a
. Vou refazer esse passo compacto para evitar confusão.
Passo 6
Derivação correta e definitiva (para ficar cristalino):
- Partindo de conservação diferencial escrita como variação do soluto no líquido:
mas
, então
- Colocando
:
- Dividindo por
:
- Integrando de
até :
- Assim:
- Usando
obtemos a forma final:
Mas repare que a forma com o sinal negativo no expoente dá aumento quando
. Para uniformizar com a notação mais comum (e evitar confusão de sinal), reescrevemos o expoente corretamente: a forma clássica do resultado de Scheil é
Confirmando: se
então
e
cresce com
— comportamento esperado. Para
a função cai com
. (Essa é a forma que vou usar adiante.)
Passo 7
Aplicando
na fórmula final:
- Substituo
por na expressão:
Essa é a equação analítica da curva que você deve traçar.
Passo 8
Cálculo de pontos para traçar a curva (valores práticos para plotagem à mão):
Calculo alguns pontos representativos usando .
Calculo alguns pontos representativos usando
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Como traçar o gráfico (instrução prática e interpretação física):
- Eixos: coloque
no eixo horizontal de a e no eixo vertical de a . - Marque os pontos calculados:
. - A curva será fortemente decrescente e convexa, começando em
quando e caindo rapidamente para quase zero antes de (porque é maior que , o soluto prefere o sólido inicial, daí alto no começo e decaimento subsequente). - Interprete fisicamente:
significa que o sólido incorporará o soluto preferencialmente — por isso no início da solidificação é alto ( ). À medida que solidifica a maior parte do soluto foi consumida e acaba caindo.
Resposta
Pontos para plotagem: