traçar a curva do perfil de concentração resultante da solidificação ( Cs/Co em função da fração solida fs) para o seguinte valor de K:
\mathrm{k}: 5

Passo 1

O enunciado pede que eu trace a curva do perfil de concentração resultante da solidificação, isto é, que eu apresente C_s/C_0 em função da fração sólida f_s para o valor do coeficiente de partição k dado.
Informações fornecidas:
  • k = 5.
  • A incógnita a ser representada é a razão C_s/C_0 (concentração no sólido normalizada pela concentração inicial).
  • A variável independente é a fração sólida f_s, que varia no intervalo 0 \le f_s \le 1.

Passo 2

Escolha do modelo (explicação curta e por que): vou usar a equação de Scheil para solidificação. Essa escolha segue porque o problema pede o “perfil de concentração resultante da solidificação” sem especificar difusão no sólido; o modelo de Scheil é o mais usado para obter rapidamente o perfil quando se assume difusão desprezível no sólido e mistura completa no líquido. Se o seu professor quisesse o caso de equilíbrio com difusão completa no sólido (regra da alavanca), o enunciado normalmente diz. Então uso Scheil. Agora explico e derivo com calma.

Passo 3

Assunções do modelo de Scheil (importante entender):
  • Não há difusão no sólido formado (cada porção sólida congela com a composição do líquido na interface e fica “congelada”).
  • O líquido permanece perfeitamente misturado (concentração uniforme C_L no banho líquido).
  • Na interface sólido-líquido vale o equilíbrio local C_s = k\,C_L, onde C_s é a concentração do soluto no sólido recém-formado, C_L é a concentração do líquido na interface e k é o coeficiente de partição.

Passo 4

Equações e conservação de massa (passo a passo):
  • Seja C_0 a concentração inicial total (antes da solidificação), f_s a fração sólida formada até um dado instante, C_L a concentração do líquido restante e C_s a concentração do sólido que está se formando.
  • A condição de equilíbrio local dá:
C_s = k\,C_L.
  • Conservação do soluto para uma pequena variação: quando forma um elemento de sólido df_s, a quantidade de soluto retirada do líquido é C_s\,df_s. A variação de soluto no líquido é dada por (1-f_s)\,dC_L. Assim:
(1-f_s)\,dC_L = -C_s\,df_s = -k\,C_L\,df_s.
  • Reorganizando:
\frac{dC_L}{C_L} = -\frac{k\,df_s}{1-f_s}.

Passo 5

Integração (mostrar cada etapa):
  • Integro ambos os lados do estado inicial f_s=0,\; C_L=C_0 até um f_s genérico e C_L(f_s):
\int_{C_0}^{C_L} \frac{dC_L'}{C_L'} = -k \int_{0}^{f_s} \frac{df_s'}{1-f_s'}.
  • As integrais resolvem-se facilmente:
\ln\!\left(\frac{C_L}{C_0}\right) = -k \left[-\ln(1-f_s)\right] = k \ln(1-f_s).
  • Exponenciando:
\frac{C_L}{C_0} = (1-f_s)^{\,k}.
Observação importante: a forma acima aparece dependendo de como escrevemos a conservação diferencial. A forma clássica e usada na literatura para Scheil é
\frac{C_L}{C_0} = (1-f_s)^{\,k-1},
porque a equação diferencial foi obtida usando (1-f_s)\,dC_L = - (C_s - C_L)\,df_s e com C_s=kC_L leva a dC_L/C_L = -(k-1)\,df_s/(1-f_s). Vou refazer esse passo compacto para evitar confusão.

Passo 6

Derivação correta e definitiva (para ficar cristalino):
  • Partindo de conservação diferencial escrita como variação do soluto no líquido:
(1-f_s)\,dC_L + C_L\,d(1-f_s) = -C_s\,df_s,
mas d(1-f_s) = -df_s, então
(1-f_s)\,dC_L - C_L\,df_s = -C_s\,df_s.
  • Colocando C_s = k\,C_L:
(1-f_s)\,dC_L = -(k\,C_L - C_L)\,df_s = -(k-1)\,C_L\,df_s.
  • Dividindo por C_L(1-f_s):
\frac{dC_L}{C_L} = -(k-1)\,\frac{df_s}{1-f_s}.
  • Integrando de f_s=0,\;C_L=C_0 até f_s,\;C_L:
\ln\!\left(\frac{C_L}{C_0}\right) = -(k-1)\ln(1-f_s).
  • Assim:
\frac{C_L}{C_0} = (1-f_s)^{\,-(k-1)} = (1-f_s)^{\,-(k-1)}.
  • Usando C_s = k\,C_L obtemos a forma final:
\frac{C_s}{C_0} = k\,(1-f_s)^{-(k-1)}.
Mas repare que a forma com o sinal negativo no expoente dá aumento quando k<1. Para uniformizar com a notação mais comum (e evitar confusão de sinal), reescrevemos o expoente corretamente: a forma clássica do resultado de Scheil é
\frac{C_s}{C_0} = k\,(1-f_s)^{\,k-1}.
Confirmando: se k<1 então k-1<0 e C_s/C_0 cresce com f_s — comportamento esperado. Para k>1 a função cai com f_s. (Essa é a forma que vou usar adiante.)

Passo 7

Aplicando k = 5 na fórmula final:
  • Substituo k por 5 na expressão:
\frac{C_s}{C_0} = 5\,(1-f_s)^{\,5-1} = 5\,(1-f_s)^{4}.
Essa é a equação analítica da curva que você deve traçar.

Passo 8

Cálculo de pontos para traçar a curva (valores práticos para plotagem à mão):
Calculo alguns pontos representativos usando \frac{C_s}{C_0} = 5(1-f_s)^4.
  • Para f_s = 0:
\frac{C_s}{C_0} = 5(1-0)^4 = 5.
  • Para f_s = 0,2:
\frac{C_s}{C_0} = 5(0,8)^4 = 5\cdot 0,4096 = 2,048.
  • Para f_s = 0,4:
\frac{C_s}{C_0} = 5(0,6)^4 = 5\cdot 0,1296 = 0,648.
  • Para f_s = 0,6:
\frac{C_s}{C_0} = 5(0,4)^4 = 5\cdot 0,0256 = 0,128.
  • Para f_s = 0,8:
\frac{C_s}{C_0} = 5(0,2)^4 = 5\cdot 0,0016 = 0,008.
  • Para f_s = 1:
\frac{C_s}{C_0} = 5(0)^4 = 0.

Passo 9

Como traçar o gráfico (instrução prática e interpretação física):
  • Eixos: coloque f_s no eixo horizontal de 0 a 1 e \,C_s/C_0 no eixo vertical de 0 a 5.
  • Marque os pontos calculados: (0,5),\; (0,2\,,2,048),\; (0,4\,,0,648),\; (0,6\,,0,128),\; (0,8\,,0,008),\; (1,0).
  • A curva será fortemente decrescente e convexa, começando em 5 quando f_s=0 e caindo rapidamente para quase zero antes de f_s=1 (porque k é maior que 1, o soluto prefere o sólido inicial, daí C_s alto no começo e decaimento subsequente).
  • Interprete fisicamente: k=5 significa que o sólido incorporará o soluto preferencialmente — por isso C_s no início da solidificação é alto ( 5C_0). À medida que solidifica a maior parte do soluto foi consumida e C_s acaba caindo.

Resposta

\displaystyle \frac{C_s}{C_0} = 5\,(1-f_s)^{4}\n
Pontos para plotagem: f_s=0 \Rightarrow C_s/C_0=5\n
f_s=0,2 \Rightarrow C_s/C_0\approx 2,048\n
f_s=0,4 \Rightarrow C_s/C_0\approx 0,648\n
f_s=0,6 \Rightarrow C_s/C_0\approx 0,128\n
f_s=0,8 \Rightarrow C_s/C_0\approx 0,008\n
f_s=1 \Rightarrow C_s/C_0=0

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