Traçar um perfil de velocidade em regime turbulento no interior de um duto de raio 1,5 cm , sabendo-se que a espessura máxima da subcamada laminar é igual a
. O fluido em escoamento é água (
e
).
Passo 1
Identificar o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: raio do duto
. - Dado: espessura máxima da subcamada viscosa (laminar)
. - Dado: propriedades da água em unidades cgs:
e . - Pedido: traçar (ou seja, fornecer) o perfil de velocidade radial em regime turbulento dentro do duto — isto é,
para . Podemos usar a aproximação usual “lei do muro” (subcamada viscosa próxima à parede + lei logarítmica fora dela).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
- Distância até a parede: defina a coordenada
como a distância perpendicular à parede; para um duto cilíndrico com raio e coordenada radial (medida do eixo), temos
- Velocidade de fricção (velocidade de atrito):
, onde é a tensão de cisalhamento na parede. Na prática vamos determinar a partir da espessura da subcamada viscosa. - Coordenada adimensional de parede:
, onde é a viscosidade cinemática. A interpretação: mede a distância até a parede em unidades do comprimento viscous. - Leis empíricas na parede (modelo clássico “law of the wall”):
- Subcamada viscosa (região muito próxima à parede, tipicamente
): a velocidade adimensional satisfaz
Em dimensional isto dá - Região logarítmica (fora da subcamada viscosa, mas ainda relativamente próxima à parede): a velocidade adimensional segue a lei logarítmica
onde (constante de von Kármán) e são constantes empíricas. Valores típicos: e . - Subcamada viscosa (região muito próxima à parede, tipicamente
- Estratégia prática: usar a espessura dada
da subcamada viscosa e assumir que na sua borda tem um valor típico (vou usar , valor padrão para o fim da subcamada viscosa). Com isso podemos determinar e escrever um perfil peça-a-peça: - para
: lei viscosa linear; - para
: lei logarítmica com substituindo em .
- para
Passo 3
Converter unidades e calcular a viscosidade cinemática
.
- Converter densidade e viscosidade para SI:
-
. -
. Como , obtemos
-
- Viscosidade cinemática:
Passo 4
Determinar a velocidade de fricção
a partir da espessura da subcamada viscosa.
- Assumo o valor típico para o fim da subcamada viscosa:
- Relação entre
, e :
- Substituindo números:
Passo 5
Escrever o perfil de velocidade peça-a-peça em termos de
(distância à parede) e em termos de
(raio desde o eixo).
- Expressão na subcamada viscosa (
):
Calculando o coeficiente
:
logo numericamente
- Expressão na região logarítmica (
):
com
e
. Substituindo
e
dá a forma numérica:
- Converter para função de
: lembrar que . Assim o perfil radial fica - para
(região próxima à parede):
- para
(região mais afastada da parede):
- para
Passo 6
Calcular alguns valores numéricos importantes para interpretar o perfil e comentar a compatibilidade entre as regiões.
- Valor na borda da subcamada viscosa
: - Pela lei viscosa:
- Pela lei logarítmica (avaliando em
):
Observação: há diferença entre os dois valores porque existe uma região de amortecimento (buffer layer) entre a subcamada viscosa e a lei logarítmica; por isso o perfil completo é tipicamente tomado peça-a-peça e a transição não é perfeitamente contínua usando as expressões idealizadas. - Velocidade no centro do duto
( ): - Calcular
. - Pela lei logarítmica:
Assim a velocidade de centro vale aproximadamente . - Calcular
Resposta
Perfil peça-a-peça (com
,
,
,
,
):
Velocidade no centro: