Traçar um perfil de velocidade em regime turbulento no interior de um duto de raio 1,5 cm , sabendo-se que a espessura máxima da subcamada laminar é igual a 10^{-3} \mathrm{~m}. O fluido em escoamento é água ( \rho=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e \mu=1,14 \times 10^{-2} \mathrm{~g} / \mathrm{cm} . \mathrm{s} ).

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: raio do duto \;R=1{,}5\\ \text{cm}=0{,}015\\ \text{m}.
  • Dado: espessura máxima da subcamada viscosa (laminar) \;\delta_v=10^{-3}\\ \text{m}.
  • Dado: propriedades da água em unidades cgs: \rho=1\\ \text{g}/\text{cm}^3 e \mu=1{,}14\times10^{-2}\\ \text{g}/(\text{cm}\cdot\text{s}).
  • Pedido: traçar (ou seja, fornecer) o perfil de velocidade radial em regime turbulento dentro do duto — isto é, u(r) para 0\le r\le R. Podemos usar a aproximação usual “lei do muro” (subcamada viscosa próxima à parede + lei logarítmica fora dela).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
  • Distância até a parede: defina a coordenada y como a distância perpendicular à parede; para um duto cilíndrico com raio R e coordenada radial r (medida do eixo), temos
y = R - r.
  • Velocidade de fricção (velocidade de atrito): \;u_*=\sqrt{\tau_w/\rho}, onde \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede. Na prática vamos determinar u_* a partir da espessura da subcamada viscosa.
  • Coordenada adimensional de parede: \;y^+=\dfrac{y\,u_*}{\nu}, onde \nu=\dfrac{\mu}{\rho} é a viscosidade cinemática. A interpretação: y^+ mede a distância até a parede em unidades do comprimento viscous.
  • Leis empíricas na parede (modelo clássico “law of the wall”):
    • Subcamada viscosa (região muito próxima à parede, tipicamente \;y^+\lesssim5): a velocidade adimensional satisfaz
    u^+ \equiv \frac{u}{u_*}=y^+.Em dimensional isto dá u(y)=\frac{u_*^2}{\nu}\,y\quad\text{(região viscosa)}.ã
    • Região logarítmica (fora da subcamada viscosa, mas ainda relativamente próxima à parede): a velocidade adimensional segue a lei logarítmica
    u^+=\frac{1}{\kappa}\ln y^+ + B,onde \kappa (constante de von Kármán) e B são constantes empíricas. Valores típicos: \kappa\approx0{,}41 e B\approx5{,}0.
  • Estratégia prática: usar a espessura dada \delta_v da subcamada viscosa e assumir que na sua borda y^+_v tem um valor típico (vou usar y^+_v\approx5, valor padrão para o fim da subcamada viscosa). Com isso podemos determinar u_* e escrever um perfil peça-a-peça:
    • para 0\le y\le \delta_v: lei viscosa linear;
    • para \delta_v<y\le R: lei logarítmica com y substituindo em y^+.

Passo 3

Converter unidades e calcular a viscosidade cinemática \nu.
  • Converter densidade e viscosidade para SI:
    • \rho=1\\ \text{g}/\text{cm}^3 = 1000\\ \text{kg}/\text{m}^3.
    • \mu=1{,}14\times10^{-2}\\ \text{g}/(\text{cm}\cdot\text{s}). Como 1\\ \text{g}/(\text{cm}\cdot\text{s})=0{,}1\\ \text{Pa}\cdot\text{s}, obtemos
    \mu = 1{,}14\times10^{-2}\times0{,}1 = 1{,}14\times10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}14\times10^{-3}}{1000}=1{,}14\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}.

Passo 4

Determinar a velocidade de fricção \;u_* a partir da espessura da subcamada viscosa.
  • Assumo o valor típico para o fim da subcamada viscosa:
y^+_v \approx 5.
  • Relação entre y^+_v, \delta_v e u_*:
y^+_v=\frac{\delta_v\,u_*}{\nu}\quad\Rightarrow\quad u_*=\frac{y^+_v\,\nu}{\delta_v}.
  • Substituindo números:
u_*=\frac{5\cdot(1{,}14\times10^{-6})}{1\times10^{-3}}=5{,}7\times10^{-3}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Escrever o perfil de velocidade peça-a-peça em termos de y (distância à parede) e em termos de r (raio desde o eixo).
  • Expressão na subcamada viscosa ( 0\le y\le\delta_v):
u(y)=\frac{u_*^2}{\nu}\,y.
Calculando o coeficiente u_*^2/\nu:
\frac{u_*^2}{\nu}=\frac{(5{,}7\times10^{-3})^2}{1{,}14\times10^{-6}}\approx28{,}5\\ \text{(s}^{-1}\text{)},
logo numericamente
u(y)\approx28{,}5\,y\quad\text{(para }0\le y\le10^{-3}\text{ m)}.
  • Expressão na região logarítmica ( \delta_v<y\le R):
u(y)=u_*\left(\frac{1}{\kappa}\ln\!\bigg(\frac{y\,u_*}{\nu}\bigg)+B\right),
com \kappa=0{,}41 e B=5{,}0. Substituindo u_* e \nu dá a forma numérica:
u(y)=5{,}7\times10^{-3}\left(\frac{1}{0{,}41}\ln\!\bigg(\frac{y\cdot5{,}7\times10^{-3}}{1{,}14\times10^{-6}}\bigg)+5\right).
  • Converter para função de r: lembrar que y=R-r. Assim o perfil radial fica
    • para R-\delta_v \le r \le R (região próxima à parede):
    u(r)=28{,}5\,(R-r).
    • para 0\le r< R-\delta_v (região mais afastada da parede):
    u(r)=5{,}7\times10^{-3}\left(\frac{1}{0{,}41}\ln\!\bigg(\frac{(R-r)\,5{,}7\times10^{-3}}{1{,}14\times10^{-6}}\bigg)+5\right).

Passo 6

Calcular alguns valores numéricos importantes para interpretar o perfil e comentar a compatibilidade entre as regiões.
  • Valor na borda da subcamada viscosa y=\delta_v=10^{-3}\\ \text{m}:
    • Pela lei viscosa:
    u(\delta_v)\approx28{,}5\times10^{-3}=2{,}85\times10^{-2}\\ \text{m/s}.
    • Pela lei logarítmica (avaliando em y^+=5):
    u(\delta_v)=u_*\Big(\tfrac{1}{\kappa}\ln5+B\Big)\approx5{,}7\times10^{-3}\times8{,}925\approx5{,}08\times10^{-2}\\ \text{m/s}.Observação: há diferença entre os dois valores porque existe uma região de amortecimento (buffer layer) entre a subcamada viscosa e a lei logarítmica; por isso o perfil completo é tipicamente tomado peça-a-peça e a transição não é perfeitamente contínua usando as expressões idealizadas.
  • Velocidade no centro do duto r=0 ( y=R=0{,}015\\ \text{m}):
    • Calcular y^+=\dfrac{R\,u_*}{\nu}=\dfrac{0{,}015\cdot5{,}7\times10^{-3}}{1{,}14\times10^{-6}}=75.
    • Pela lei logarítmica:
    u(0)=u_*\Big(\tfrac{1}{\kappa}\ln(75)+B\Big)\approx5{,}7\times10^{-3}\times15{,}536\approx8{,}86\times10^{-2}\\ \text{m/s}.Assim a velocidade de centro vale aproximadamente 8{,}9\times10^{-2}\\ \text{m/s}.

Resposta

u_* = 5{,}7\times10^{-3}\\ \text{m/s}.
Perfil peça-a-peça (com R=0{,}015\\ \text{m}, y=R-r, \nu=1{,}14\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s}, \kappa=0{,}41, B=5{,}0):
\text{Para }0\le r\le R-\delta_v:\quad u(r)=5{,}7\times10^{-3}\left(\frac{1}{0{,}41}\ln\!\bigg(\frac{(R-r)\,5{,}7\times10^{-3}}{1{,}14\times10^{-6}}\bigg)+5\right).
\text{Para }R-\delta_v< r\le R:\quad u(r)=28{,}5\,(R-r).
Velocidade no centro: u(0)\approx8{,}86\times10^{-2}\\ \text{m/s}.

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