Trace a curva alpha(t)=(t, 2 cos 2 pi t, 2 sen 2 pi t).

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida por uma função que depende de uma variável, o . A função é . Aqui, vamos trabalhar com coordenadas paramétricas, que é um conteúdo de geometria analítica. Para desenhar essa curva, vamos entender como cada componente da função se comporta conforme varia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função :
  • A coordenada significa que, conforme aumenta, o valor de aumenta linearmente.
  • A coordenada oscila entre -2 e 2 por causa da função cosseno.
  • A coordenada também oscila entre -2 e 2 devido à função seno.

Passo 3

Sabemos que as funções seno e cosseno criam movimentos circulares quando são usadas nas coordenadas e . Como ambas têm o mesmo argumento , elas completam um ciclo completo quando varia de 0 a 1.

Passo 4

Juntando isso tudo, enquanto aumenta, o vai subindo constantemente, enquanto e estão girando em círculo. Isso cria uma forma espiralada ao longo do eixo .

Passo 5

Essa combinação de movimento linear no e circular nas direções e resulta em uma hélice. No caso, é uma hélice circular com raio 2, pois os coeficientes das funções seno e cosseno são 2.

Resposta

A curva é uma hélice circular com raio 2 que se enrola ao longo do eixo , subindo continuamente conforme aumenta.

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