Encontre os pontos sobre a elipse 9 x^2+y^2=9 que estão mais distantes e mais próximo do ponto (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na elipse 9x^2 + y^2 = 9 que estão mais próximos e mais distantes do ponto (1, 0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de distâncias entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse: 9x^2 + y^2 = 9. Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 9:
x^21 + y^29 = 1
Isso nos mostra que a elipse está centrada na origem (0,0), com semieixos de comprimento 1 no eixo x e 3 no eixo y.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a distância entre um ponto qualquer (x, y) na elipse e o ponto (1, 0). A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
No nosso caso, a distância d entre (x, y) e (1, 0) é:
d = raiz(x - 1)^2 + y^2

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos minimizar e maximizar o quadrado da distância, d^2, já que a raiz quadrada é uma função crescente e não altera os pontos onde ocorrem os extremos:
d^2 = (x - 1)^2 + y^2

Passo 5

Como (x, y) está na elipse 9x^2 + y^2 = 9, podemos expressar y^2 em termos de x:
y^2 = 9 - 9x^2
Substituindo isso na equação de d^2:
d^2 = (x - 1)^2 + (9 - 9x^2) = x^2 - 2x + 1 + 9 - 9x^2 = -8x^2 - 2x + 10

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática em x:
d^2(x) = -8x^2 - 2x + 10
Queremos encontrar os valores de x que minimizam e maximizam d^2. Para isso, vamos derivar d^2 em relação a x e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
d(d^2)dx = -16x - 2 = 0
Resolvendo para x:
-16x - 2 = 0 implies x = -216 = -18

Passo 7

Encontramos que quando x = -18, a função d^2 atinge um ponto crítico. Vamos calcular y correspondente usando a equação da elipse:
y^2 = 9 - 9(-18)^2 = 9 - 9(164) = 9 - 964 = 57664 - 964 = 56764
Portanto:
y = pm raiz56764 = pm raiz5678 = pm 3raiz638 = pm 3 times 3raiz78 = pm 9raiz78

Passo 8

Agora, temos o ponto (-18, 9raiz78) e (-18, -9raiz78). Porém, precisamos verificar se esses são os pontos mais próximos ou mais distantes, além dos extremos da elipse.
Vamos verificar a distância nos pontos extremos da elipse. Nos extremos no eixo x, temos (1, 0) e (-1, 0).
Calculando a distância de (1,0) para (1,0):
d = 0
E para (-1,0):
d = raiz(-1 - 1)^2 + 0^2 = raiz4 = 2

Passo 9

Comparando as distâncias:
  • O ponto (1,0) está a distância 0, que é o mínimo possível.
  • O ponto (-1,0) está a distância 2.
  • Os pontos (-18, pm 9raiz78) têm distância maior que 2.
Portanto, o ponto mais próximo é (1, 0) e os pontos mais distantes são (-18, 9raiz78) e (-18, -9raiz78).

Resposta

Os pontos na elipse 9x^2 + y^2 = 9 que estão mais próximos do ponto (1, 0) é (1, 0) e os pontos mais distantes são (-18, 9raiz78) e (-18, -9raiz78).

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