Encontre os pontos sobre a elipse
que estão mais distantes e mais próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos na elipse
que estão mais próximos e mais distantes do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de distâncias entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse:
. Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 9:
Isso nos mostra que a elipse está centrada na origem
, com semieixos de comprimento 1 no eixo
e 3 no eixo
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a distância entre um ponto qualquer
na elipse e o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
No nosso caso, a distância
entre
e
é:
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos minimizar e maximizar o quadrado da distância,
, já que a raiz quadrada é uma função crescente e não altera os pontos onde ocorrem os extremos:
Passo 5
Como
está na elipse
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na equação de
:
Passo 6
Agora, temos uma função quadrática em
:
Queremos encontrar os valores de
que minimizam e maximizam
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Encontramos que quando
, a função
atinge um ponto crítico. Vamos calcular
correspondente usando a equação da elipse:
Portanto:
Passo 8
Agora, temos o ponto
e
. Porém, precisamos verificar se esses são os pontos mais próximos ou mais distantes, além dos extremos da elipse.
Vamos verificar a distância nos pontos extremos da elipse. Nos extremos no eixo
, temos
e
.
Calculando a distância de
para
:
E para
:
Passo 9
Comparando as distâncias:
- O ponto
está a distância 0, que é o mínimo possível. - O ponto
está a distância 2. - Os pontos
têm distância maior que 2.
Portanto, o ponto mais próximo é
e os pontos mais distantes são
e
.
Resposta
Os pontos na elipse
que estão mais próximos do ponto
é
e os pontos mais distantes são
e
.