Um conversor CC-CC de modo comutado está operando em uma frequência de comutação de 20 kHz e V_{\mathrm{d}}=150 \mathrm{~V}. No circuito elétrico equivalente do motor CC, E_{\mathrm{a}}=100 \mathrm{~V}, R_{\mathrm{a}}=250 \mathrm{~m} \Omega e L_{\mathrm{a}}=4 \mathrm{mH}. O motor entra no modo de frenagem regenerativa. A corrente elétrica média fornecida pelo motor ao conversor durante a frenagem é de 8,0 \mathrm{~A}. Trace as formas de onda de tensão elétrica e de corrente elétrica em ambos os lados desse conversor nesse instante. Calcule o fluxo médio de potência elétrica no conversor.

Passo 1

O enunciado dá um conversor CC–CC com frequência de comutação \;20\\ \mathrm{kHz}\; e tensão de bus V_{\mathrm{d}}=\;150\\ \mathrm{V}. O motor (lado ligado ao conversor) tem os parâmetros: \;E_{\mathrm{a}}=100\\ \mathrm{V},\;R_{\mathrm{a}}=250\\ \mathrm{m}\Omega=0{,}25\\ \Omega,\;L_{\mathrm{a}}=4\\ \mathrm{mH}=0{,}004\\ \mathrm{H}.
O motor entrou em frenagem regenerativa e a corrente média fornecida pelo motor ao conversor é \;8{,}0\\ \mathrm{A} (ou seja, o motor está entregando energia elétrica ao conversor).
Pede-se: (1) traçar (descrever) as formas de onda de tensão e corrente em ambos os lados do conversor nesse instante e (2) calcular o fluxo médio de potência elétrica no conversor.
Informações relevantes listadas: \;f_{\mathrm{s}}=20\\ \mathrm{kHz} (portanto T=1/f_{\mathrm{s}}=50\\ \mu\mathrm{s}), V_{\mathrm{d}}=150\\ \mathrm{V}, E_{\mathrm{a}}=100\\ \mathrm{V}, R_{\mathrm{a}}=0{,}25\\ \Omega, L_{\mathrm{a}}=0{,}004\\ \mathrm{H}, corrente média entregue pelo motor I_{\mathrm{médio}}=8{,}0\\ \mathrm{A}é. A resolução parte daqui.

Passo 2

Escolhemos uma convenção simples e clara (importante para não confundir): definimos a corrente positiva no circuito como sendo do conversor para o motor (ou seja, “para dentro” do motor). Como o motor está fornecendo corrente ao conversor, a corrente nessa convenção é negativa: \;I_{a}=-8{,}0\\ \mathrm{A} (módulo 8{,}0\\ \mathrm{A} saindo do motor).
A equação elétrica do circuito do eixo elétrico do motor (modelo série) em regime instantâneo é
V_{t} = E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}} I_{a} + L_{\mathrm{a}}\frac{dI_{a}}{dt},
onde:
  • \;V_{t} é a tensão no terminal do motor (ponto onde o conversor aplica tensão);
  • \;E_{\mathrm{a}} é a força contra-eletromotriz (back-EMF) do motor;
  • \;R_{\mathrm{a}} é a resistência do induzido;
  • \;L_{\mathrm{a}} é a indutância do induzido;
  • \;I_{a} é a corrente no induzido (positiva entrando no motor).
    Explico rápido: essa equação vem de aplicar KVL passando pelo indutor, resistor e a fonte E_{\mathrm{a}}. Em regime médio de comutação, a componente média de L\,dI/dt é zero (fluxo de volt-segundo nulo), portanto a parte média se cancela.

Passo 3

Calculamos a tensão média no terminal do motor \;V_{t,\mathrm{médio}}é usando a equação média (desprezando a componente média de L\,dI/dt):
V_{t,\mathrm{médio}} = E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}} I_{a}.é
Substituindo I_{a}=-8{,}0\\ \mathrm{A}:
V_{t,\mathrm{médio}} = 100\\ \mathrm{V} + 0{,}25\\ \Omega \times (-8{,}0\\ \mathrm{A}) = 100 - 2 = 98\\ \mathrm{V}.é
Interpretação física: o motor gera \;E_{\mathrm{a}}=100\\ \mathrm{V} internamente; como parte da corrente percorre a resistência, há uma queda I^{2}R dissipada internamente (ou, dito de outra forma, R_{\mathrm{a}}I_{a} altera a tensão terminal). O terminal fica em média em \;98\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Se o conversor é do tipo comutado que gera uma tensão média no terminal do motor por PWM (ex.: um conversor step‑down/buck), a tensão média no terminal do motor é proporcional ao ciclo de trabalho D:
V_{t,\mathrm{médio}} = D\;V_{\mathrm{d}}.é
Assim o ciclo de trabalho médio necessário é
D = \frac{V_{t,\mathrm{médio}}}{V_{\mathrm{d}}} = \frac{98}{150} \approx 0{,}653.é
Tempo de período \;T=50\\ \mu\mathrm{s}. Portanto:
T_{\mathrm{on}} = D\,T \approx 0{,}653\times 50\\ \mu\mathrm{s} \approx 32{,}7\\ \mu\mathrm{s},
T_{\mathrm{off}} = (1-D)\,T \approx 17{,}3\\ \mu\mathrm{s}.
Comentário: estes números dizem que o conversor aplica pulsos de \;150\\ \mathrm{V} durante cerca de 32{,}7\\ \mu\mathrm{s} e zero durante 17{,}3\\ \mu\mathrm{s} a cada período, obtendo média \approx 98\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Descrevendo as formas de onda no lado do motor (lado de baixa tensão do conversor, “saída PWM”):
  • Tensão no terminal do motor \;v_{t}(t): é uma onda quadrada (PWM) alternando entre \;150\\ \mathrm{V} (quando o transistor está ligado) e \;0\\ \mathrm{V} (quando está desligado/diode conduction), com frequência \;20\\ \mathrm{kHz}, ciclo de trabalho \;D\approx 0{,}653. A componente média dessa PWM é \;V_{t,\mathrm{médio}}=98\\ \mathrm{V}é. Em prova, basta desenhar retângulos a 150 V por T_{\mathrm{on}} e 0 V por T_{\mathrm{off}}.
  • Corrente do motor \;i_{a}(t): por haver indutância \;L_{\mathrm{a}}, a corrente é praticamente contínua (não muda instantaneamente) e apresenta um pequeno ripple triangular em torno do valor médio \;8{,}0\\ \mathrm{A} (saindo do motor para o conversor). Agora eu vou calcular esse ripple para você poder desenhar certinho.

Passo 6

Cálculo do ripple de corrente no indutor (pico‑a‑pico):
Durante T_{\mathrm{on}} o indutor “vê” uma tensão:
v_{L,\mathrm{on}} = V_{\mathrm{d}} - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}I_{a}.
Lembre que I_{a}=-8{,}0\\ \mathrm{A} (positivo entrando no motor), então -R_{\mathrm{a}}I_{a} = -0{,}25\times(-8)=+2\\ \mathrm{V}. Logo
v_{L,\mathrm{on}} = 150 - 100 + 2 = 52\\ \mathrm{V}.
Durante T_{\mathrm{off}} o terminal fica em 0 (diode / freewheeling para a topologia padrão), logo
v_{L,\mathrm{off}} = 0 - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}I_{a} = -100 + 2 = -98\\ \mathrm{V}.
(A verificação volt‑segundo: D\cdot 52 + (1-D)\cdot(-98)=0, que dá D=98/150, consistente.)
O incremento de corrente durante T_{\mathrm{on}} é
\Delta I_{\mathrm{on}} = \frac{v_{L,\mathrm{on}}}{L_{\mathrm{a}}}\,T_{\mathrm{on}} = \frac{52}{0{,}004}\times 32{,}7\times 10^{-6}\\ \mathrm{A} \approx 0{,}426\\ \mathrm{A}.
O decremento durante T_{\mathrm{off}} tem magnitude praticamente igual (com sinal oposto), garantindo que o ripple pico‑a‑pico seja
\Delta I_{pp} \approx 0{,}426\\ \mathrm{A}.
Assim a corrente no tempo é aproximadamente triangular em cada comutação, variando em torno da média 8{,}0\\ \mathrm{A} com amplitude meia do pico‑a‑pico:
\text{amplitude (semi)} \approx \frac{\Delta I_{pp}}{2} \approx 0{,}213\\ \mathrm{A}.
Portanto, para desenhar a corrente mostre uma linha quase horizontal em 8{,}0\\ \mathrm{A} com pequeníssimas rampas triangulares de \pm 0{,}213\\ \mathrm{A} a 20\\ \mathrm{kHz}.

Passo 7

Agora o lado da fonte / bus \;V_{\mathrm{d}} (lado da bateria):
  • A tensão no barramento do conversor é constante \;V_{\mathrm{d}}=150\\ \mathrm{V}.
  • A potência elétrica gerada pelo motor (produzida internamente pela EMF) e a distribuição dessa potência:
    \text{potência gerada pela EMF }= E_{\mathrm{a}}\cdot I_{\mathrm{gen}}.ê
    Aqui I_{\mathrm{gen}} é o módulo da corrente gerada pelo motor, I_{\mathrm{gen}}=8{,}0\\ \mathrm{A}. Então
    P_{\mathrm{EMF}} = 100\\ \mathrm{V}\times 8{,}0\\ \mathrm{A} = 800\\ \mathrm{W}.
    Deste total, uma parcela é dissipada no resistor do induzido:
    P_{R} = I^{2}R_{\mathrm{a}} = 8^{2}\times 0{,}25 = 16\\ \mathrm{W}.
    O restante é entregue ao conversor (potência elétrica que sai do motor para o conversor):
    P_{\mathrm{entregue}} = P_{\mathrm{EMF}} - P_{R} = 800 - 16 = 784\\ \mathrm{W}.
    Esse é o fluxo médio de potência elétrica que atravessa o conversor em direção ao barramento (assumindo conversor ideal sem perdas). Portanto, a bateria (ou o barramento de \;150\\ \mathrm{V}) receberá em média
    I_{\mathrm{bateria,\,médio}} = \frac{P_{\mathrm{entregue}}}{V_{\mathrm{d}}} = \frac{784}{150} \approx 5{,}227\\ \mathrm{A},é
    isto é, uma corrente média de aproximadamente \;5{,}227\\ \mathrm{A} entrando na bateria (carregamento).
  • Forma de onda da corrente no lado da bateria: é pulsante na frequência de comutação (porque a conexão com o barramento ocorre durante partes do período), mas com média \;5{,}227\\ \mathrm{A}. A amplitude instantânea dessas pulsos é próxima ao valor instantâneo da corrente do indutor (logo, entre aproximadamente 8{,}0\pm0{,}213\\ \mathrm{A} em magnitude), ajustada conforme a topologia de comutação. Em provas normalmente basta indicar que a corrente no barramento é pulsante com média calculada acima.

Passo 8

Interpretação física e sinalização (para você não se perder na prova):
  • Direção de potência: a energia elétrica flui do motor (mecânica → elétrica via E_{\mathrm{a}}) para o conversor e deste para o barramento/bateria. Assim o conversor está transferindo energia do motor para V_{\mathrm{d}} (regeneração).
  • Valores principais obtidos que você deve anotar para resposta rápida: tensão média no terminal do motor \;98\\ \mathrm{V}, ciclo D\approx 0{,}653, ripple de corrente \Delta I_{pp}\approx 0{,}426\\ \mathrm{A}, potência média transferida 784\\ \mathrm{W}, corrente média no barramento \;5{,}227\\ \mathrm{A}.

Resposta

Motor-side: tensão PWM entre 0\\ \mathrm{V} e 150\\ \mathrm{V} a 20\\ \mathrm{kHz}, ciclo D\approx 0{,}653, média V_{t,\mathrm{médio}}=98\\ \mathrm{V}é; T_{\mathrm{on}}\approx 32{,}7\\ \mu\mathrm{s}, T_{\mathrm{off}}\approx 17{,}3\\ \mu\mathrm{s}.
Motor-side: corrente média 8{,}0\\ \mathrm{A} (fornecida pelo motor ao conversor), ripple triangular pico‑a‑pico \Delta I_{pp}\approx 0{,}426\\ \mathrm{A} (logo \pm 0{,}213\\ \mathrm{A} em torno de 8{,}0\\ \mathrm{A}).
Bus-side (bateria): tensão constante 150\\ \mathrm{V}.
Bus-side (bateria): corrente pulsante a 20\\ \mathrm{kHz} com média I_{\mathrm{bateria,\,médio}}\approx 5{,}227\\ \mathrm{A}é (entrando na bateria, carregamento).
Fluxo médio de potência no conversor: P_{\mathrm{médio}}=784\\ \mathrm{W}é (do motor para o barramento).

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