Um traço de álcool etílico deve ser separado da água numa coluna de fracionamento que trabalha numa pressão de 1 bar. A alimentação contendo 0,8 moles \% de etanol, entra na parte superior da coluna como um líquido em ebulição, não havendo refluxo. A água purificada é retirada do calefator, e o vapor rico em álcool sai pela parte superior da coluna. Verifica-se que quando 8460 kJ são fornecidos ao calefator para cada kmol de alimentação, a concentração do álcool na água purificada é de 0,16 moles%. A composição do vapor de equilíbrio para soluções diluídas de álcool etílico em seus pontos de ebulição sob uma pressão de um bar é dada por \mathrm{y}=6 \mathrm{x}, onde x e y são frações molares. O calor latente da água é de 40650 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kmol}. Determine o número de etágios teóricos aos quais a coluna equivale.

Passo 1

O problema trata de uma coluna de fracionamento sem refluxo (R=0) que separa etanol (azeótropo diluído) e água a 1 bar. A alimentação de 1 kmol contém 0,008 kmol de etanol (0,8 mol %) e entra como líquido em ebulição (qualidade q=1). Não há refluxo, logo toda a vaporização ocorre no reboiler, gerando um vapor que sai no topo com fração molar de etanol y_D e um líquido de fundo (água purificada) com fração molar de etanol x_B=0{,}0016. A linha de equilíbrio é dada por
y = 6\,x.
O reboiler recebe Q_r=8460,kJ por kmol de alimentação e o calor latente da água é \lambda_{\mathrm{H_2O}}=40650,kJ/kmol. Vamos:
  • fazer balanço material para achar D, B e y_D;
  • estabelecer a linha de operação da seção de esgotamento;
  • usar o modelo etapa-a-etapa (relação recorrente) para contar as etapas teóricas de esgotamento;
  • somar a etapa do reboiler e arredondar para um número inteiro de estágios.

Passo 2

Balanço de energia no reboiler (toda a vaporização no reboiler, vapor gerado V=D):
Q_r \;=\; D\;\lambda_{\mathrm{H_2O}} \quad\Longrightarrow\quad D \;=\;\frac{8460}{40650}\;=\;0{,}208.
Balanço total de matéria:
F=1,\quad D=0{,}208,\quad B=F-D=0{,}792.

Passo 3

Balanço de etanol:
\underbrace{1\cdot0{,}008}_{F\,x_F} =\underbrace{B\;x_B}_{\text{fundo}}+\underbrace{D\;y_D}_{\text{destilado}} \;\Longrightarrow\; 0{,}008 =0{,}792\cdot0{,}0016 +D\,y_D.
Logo
D\,y_D =0{,}008-0{,}792\times0{,}0016 =0{,}006733 \quad\Longrightarrow\quad y_D=\frac{0{,}006733}{0{,}208}=0{,}0324.

Passo 4

Linha de operação da seção de esgotamento (abaixo da alimentação) para corrente molar constante:
L=F-B=1-0{,}792=0{,}208=V,\quad \frac{L}{V}=1,\quad k=\frac{B}{V}\,x_B=3{,}808\times0{,}0016=0{,}006093.
Assim
y \;=\; \frac{L}{V}\,x \;-\; k \;=\; x \;-\;0{,}006093.

Passo 5

Relação recorrente etapa-a-etapa no esgotamento: a cada estágio i temos
y_i = x_i - k, \quad \text{e equilíbrio: } y_i = m\,x_{i+1} \;\Longrightarrow\; x_{i+1} = \frac{x_i - k}{m},í
com m=6. Denote a=\tfrac1m e b=-\tfrac{k}{m}. A solução da recorrência
x_{i+1}=a\,x_i + b
em N estágios é
x_{N+1} = a^N\,x_1 \;+\; \frac{b}{1 - a}\,\bigl(1 - a^N\bigr).
Aqui x_1=x_F=0{,}008 e x_{N+1}=x_B=0{,}0016. Substituindo a=1/6, b=-0{,}006093/6 e reorganizando:
0{,}0016 = \bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^N 0{,}008 \;-\; \frac{0{,}006093}{5}\,\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^N\Bigr).
Resolvendo para \bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^N obtém-se
\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^N = 0{,}30574 \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{\ln(0{,}30574)}{\ln(1/6)} = 0{,}662.

Passo 6

O valor N=0{,}662 corresponde ao número de estágios de esgotamento acima do reboiler. A etapa de ebulição no reboiler conta como mais 1 estágio teórico. Assim o total é
N_{\text{total}} = N + 1 = 0{,}662 + 1 = 1{,}662
e, como precisamos de um número inteiro de estágios, arredondamos para cima: 2 estágios teóricos.

Resposta

A coluna equivale a 2 estágios teóricos.

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