Um traço de álcool etílico deve ser separado da água numa coluna de fracionamento que trabalha numa pressão de 1 bar. A alimentação contendo 0,8 moles \% de etanol, entra na parte superior da coluna como um líquido em ebulição, não havendo refluxo. A água purificada é retirada do calefator, e o vapor rico em álcool sai pela parte superior da coluna. Verifica-se que quando 8460 kJ são fornecidos ao calefator para cada kmol de alimentação, a concentração do álcool na água purificada é de 0,16 moles%. A composição do vapor de equilíbrio para soluções diluídas de álcool etílico em seus pontos de ebulição sob uma pressão de um bar é dada por \mathrm{y}=6 \mathrm{x}, onde x e y são frações molares. O calor latente da água é de 40650 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kmol}. Determine o número de etágios teóricos aos quais a coluna equivale.
Passo 1
O problema trata de uma coluna de fracionamento sem refluxo (R=0) que separa etanol (azeótropo diluído) e água a 1 bar. A alimentação de 1 kmol contém 0,008 kmol de etanol (0,8 mol %) e entra como líquido em ebulição (qualidade q=1). Não há refluxo, logo toda a vaporização ocorre no reboiler, gerando um vapor que sai no topo com fração molar de etanol y_D e um líquido de fundo (água purificada) com fração molar de etanol x_B=0{,}0016. A linha de equilíbrio é dada por
y = 6\,x.
O reboiler recebe Q_r=8460,kJ por kmol de alimentação e o calor latente da água é \lambda_{\mathrm{H_2O}}=40650,kJ/kmol. Vamos:
fazer balanço material para achar D, B e y_D;
estabelecer a linha de operação da seção de esgotamento;
usar o modelo etapa-a-etapa (relação recorrente) para contar as etapas teóricas de esgotamento;
somar a etapa do reboiler e arredondar para um número inteiro de estágios.
Passo 2
Balanço de energia no reboiler (toda a vaporização no reboiler, vapor gerado V=D):
Q_r \;=\; D\;\lambda_{\mathrm{H_2O}} \quad\Longrightarrow\quad D \;=\;\frac{8460}{40650}\;=\;0{,}208.
Resolvendo para \bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^N obtém-se
\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^N = 0{,}30574 \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{\ln(0{,}30574)}{\ln(1/6)} = 0{,}662.
Passo 6
O valor N=0{,}662 corresponde ao número de estágios de esgotamento acima do reboiler. A etapa de ebulição no reboiler conta como mais 1 estágio teórico. Assim o total é
N_{\text{total}} = N + 1 = 0{,}662 + 1 = 1{,}662
e, como precisamos de um número inteiro de estágios, arredondamos para cima: 2 estágios teóricos.