A trajetória de uma particula, que se desloca no espaço, é descrita pela hêlice
sigma(t)=(cos t, sen t, t), t >= 0
Sobre o vetor aceleração (derivada de segunda ordem) dessa particula, podemos afirmar que:
a) é paralelo ao vetor posição;
b) é ortogonal ao vetor posição:
c) é ortogonal ao vetor velocidade;
d) tem comprimento igual ao do vetor velocidade no instante t=0;
e) tem comprimento constante e igual a a^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a trajetória de uma partícula que se move no espaço seguindo uma hélice, descrita pela equação sigma(t) = (cos t, sin t, t) para t >= 0. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo vetorial, especificamente envolvendo vetores posição, velocidade e aceleração. Para resolver essa questão, vamos precisar derivar a função posição para encontrar a velocidade e, em seguida, derivar novamente para achar a aceleração. Depois, vamos analisar as propriedades desses vetores para responder às alternativas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a primeira derivada da função posição sigma(t). A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
v(t) = sigma'(t) = ( -sin t, cos t, 1 )

Passo 3

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar o vetor aceleração, que é a segunda derivada da função posição.
a(t) = sigma''(t) = ( -cos t, -sin t, 0 )

Passo 4

Vamos analisar as alternativas uma por uma para ver qual delas está correta.
a) A aceleração é paralela ao vetor posição.
Para verificar isso, precisamos ver se há um escalar k tal que a(t) = k cdot sigma(t).
a(t) = (-cos t, -sin t, 0) e sigma(t) = (cos t, sin t, t)
Comparando as componentes, vemos que não existe um número k que satisfaça todas as igualdades simultaneamente. Portanto, essa alternativa está errada.
b) A aceleração é ortogonal ao vetor posição.
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar a(t) cdot sigma(t):
a(t) cdot sigma(t) = (-cos t)(cos t) + (-sin t)(sin t) + (0)(t) = -cos^2 t - sin^2 t = -(cos^2 t + sin^2 t) = -1
Como o resultado não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, essa alternativa está errada.
c) A aceleração é ortogonal ao vetor velocidade.
Vamos calcular o produto escalar a(t) cdot v(t):
a(t) cdot v(t) = (-cos t)(-sin t) + (-sin t)(cos t) + (0)(1) = cos t sin t - sin t cos t = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Portanto, essa alternativa está certa.
d) A aceleração tem comprimento igual ao do vetor velocidade no instante t = 0.
Vamos calcular os comprimentos em t = 0:
|a(0)| = raiz(-cos 0)^2 + (-sin 0)^2 + 0^2 = raiz(-1)^2 + 0^2 + 0^2 = 1
|v(0)| = raiz(-sin 0)^2 + (cos 0)^2 + 1^2 = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Como 1 neq raiz2, essa alternativa está errada.
e) A aceleração tem comprimento constante e igual a a^2.
O comprimento de a(t) é:
|a(t)| = raiz(-cos t)^2 + (-sin t)^2 + 0^2 = raizcos^2 t + sin^2 t = 1
Isso é constante, mas não necessariamente igual a a^2. Sem mais informações sobre a, não podemos confirmar essa equivalência. Portanto, essa alternativa está errada.

Resposta

A alternativa correta é a c) é ortogonal ao vetor velocidade.

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