A trajetória de uma particula, que se desloca no espaço, é descrita pela hêlice
Sobre o vetor aceleração (derivada de segunda ordem) dessa particula, podemos afirmar que:
a) é paralelo ao vetor posição;
b) é ortogonal ao vetor posição:
c) é ortogonal ao vetor velocidade;
d) tem comprimento igual ao do vetor velocidade no instante
;
e) tem comprimento constante e igual a
.
a) é paralelo ao vetor posição;
b) é ortogonal ao vetor posição:
c) é ortogonal ao vetor velocidade;
d) tem comprimento igual ao do vetor velocidade no instante
e) tem comprimento constante e igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a trajetória de uma partícula que se move no espaço seguindo uma hélice, descrita pela equação
para
. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo vetorial, especificamente envolvendo vetores posição, velocidade e aceleração. Para resolver essa questão, vamos precisar derivar a função posição para encontrar a velocidade e, em seguida, derivar novamente para achar a aceleração. Depois, vamos analisar as propriedades desses vetores para responder às alternativas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a primeira derivada da função posição
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar o vetor aceleração, que é a segunda derivada da função posição.
Passo 4
Vamos analisar as alternativas uma por uma para ver qual delas está correta.
a) A aceleração é paralela ao vetor posição.
Para verificar isso, precisamos ver se há um escalar
tal que
.
Comparando as componentes, vemos que não existe um número
que satisfaça todas as igualdades simultaneamente. Portanto, essa alternativa está errada.
b) A aceleração é ortogonal ao vetor posição.
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Vamos calcular o produto escalar
:
Como o resultado não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, essa alternativa está errada.
c) A aceleração é ortogonal ao vetor velocidade.
Vamos calcular o produto escalar
:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Portanto, essa alternativa está certa.
d) A aceleração tem comprimento igual ao do vetor velocidade no instante
.
Vamos calcular os comprimentos em
:
Como
, essa alternativa está errada.
e) A aceleração tem comprimento constante e igual a
.
O comprimento de
é:
Isso é constante, mas não necessariamente igual a
. Sem mais informações sobre
, não podemos confirmar essa equivalência. Portanto, essa alternativa está errada.
Resposta
A alternativa correta é a c) é ortogonal ao vetor velocidade.