Avaliaçāo
Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
- A interpretação faz parte da avaliação;
- O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
- Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
- Utilize caneta preta ou azul;
- Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:
determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao cixo dos x .
Instruçöes:
Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:
Passo 1
O enunciado dá o potencial em uma lâmina plana como
, com
e
em cm, e pede a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo
. O conteúdo é derivadas parciais e derivada direcional.
Passo 2
Para achar a taxa de variação em direção paralela ao eixo
, usamos o conceito de derivada direcional: se
é o vetor unitário nessa direção, então
[D_{\mathbf{u}}V=\nabla V\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial V}{\partial x},.
Passo 3
Agora basta calcular a derivada parcial
. Note que
[V(x,y)=80-20,x,e^{-f(x,y)},\quad f(x,y)=\frac{x^4+y}{20}.
Passo 4
Pela regra do produto e cadeia temos
$$\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe{-f}\bigr)=e{-f}+x\bigl(-f_x\bigr)e^{-f}
$$com
[f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x4+y}{20}\Bigr)=\frac{4x3}{20}=\frac{x^3}{5}.
[f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x4+y}{20}\Bigr)=\frac{4x3}{20}=\frac{x^3}{5}.
Passo 5
Logo
$$\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe{-f}\bigr)=e{-f}\Bigl(1-\frac{x^4}{5}\Bigr)
$$e, portanto,
[\frac{\partial V}{\partial x}=-20,e{-f}\Bigl(1-\frac{x4}{5}\Bigr)=(-20+4x4)e{-\frac{x^4+y}{20}}.
[\frac{\partial V}{\partial x}=-20,e{-f}\Bigl(1-\frac{x4}{5}\Bigr)=(-20+4x4)e{-\frac{x^4+y}{20}}.
Resposta
A taxa de variação em qualquer direção paralela ao eixo x é