Avaliaçāo 1^a Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
  1. A interpretação faz parte da avaliação;
  2. O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
  3. Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
  4. Utilize caneta preta ou azul;
  5. Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
    Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:
V(x, y)=80-20 x e^-x^4+y20 em vo
determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao cixo dos x .

Passo 1

O enunciado dá o potencial em uma lâmina plana como V(x,y)=80-20x,e^-x^4+y20, com x e y em cm, e pede a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo x. O conteúdo é derivadas parciais e derivada direcional.

Passo 2

Para achar a taxa de variação em direção paralela ao eixo x, usamos o conceito de derivada direcional: se u=(1,0) é o vetor unitário nessa direção, então
[D_{\mathbf{u}}V=\nabla V\cdot\mathbf{u}=\frac{\partial V}{\partial x},.

Passo 3

Agora basta calcular a derivada parcial partial Vpartial x. Note que
[V(x,y)=80-20,x,e^{-f(x,y)},\quad f(x,y)=\frac{x^4+y}{20}.

Passo 4

Pela regra do produto e cadeia temos
$$\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe{-f}\bigr)=e{-f}+x\bigl(-f_x\bigr)e^{-f}
$$com
[f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x4+y}{20}\Bigr)=\frac{4x3}{20}=\frac{x^3}{5}.

Passo 5

Logo
$$\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe{-f}\bigr)=e{-f}\Bigl(1-\frac{x^4}{5}\Bigr)
$$e, portanto,
[\frac{\partial V}{\partial x}=-20,e{-f}\Bigl(1-\frac{x4}{5}\Bigr)=(-20+4x4)e{-\frac{x^4+y}{20}}.

Resposta

A taxa de variação em qualquer direção paralela ao eixo x é
partial Vpartial x=(4x^4-20),e^-x^4+y20 (V/cm)

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