Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A temperatura em b;

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro longo composto de uma camada metálica (condutividade \,k=14\;\mathrm{W/mK}) entre r=R_1 e r=R_2, mais uma camada isolante (condutividade \,k_1=0,05\;\mathrm{W/mK}) entre r=R_2 e r=R_3. No interior ( r<R_1) o fluido está a T_1=120^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h_1=12\;\mathrm{W/m^2K}, e no exterior ( r>R_3) o fluido está a T_2=25^\circ\mathrm{C} com h_2=5\;\mathrm{W/m^2K}.
O que se pede é a temperatura no ponto “b”, isto é, na interface entre o metal e o isolante, em r=R_2. Vamos modelar o problema por resistências térmicas em série no regime estacionário.

Passo 2

As resistências térmicas são:
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_1\,2\pi R_1 L},
R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}}=\frac{\ln\bigl(R_2/R_1\bigr)}{2\pi\,k\,L},
R_{\mathrm{cond},\mathrm{isol}}=\frac{\ln\bigl(R_3/R_2\bigr)}{2\pi\,k_1\,L},
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_2\,2\pi R_3 L}.
Em série, a resistência total é
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}}+R_{\mathrm{cond},\mathrm{isol}}+R_{\mathrm{conv},2}.

Passo 3

Substituindo valores ( R_1=0,10\;\mathrm{m}, R_2=0,20\;\mathrm{m}, R_3=0,25\;\mathrm{m}, L=5\;\mathrm{m}):
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{12\,2\pi(0,10)(5)}\approx0{,}02653\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}}=\frac{\ln(0,20/0,10)}{2\pi(14)(5)}\approx0{,}00158\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},\mathrm{isol}}=\frac{\ln(0,25/0,20)}{2\pi(0{,}05)(5)}\approx0{,}1420\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{5\,2\pi(0,25)(5)}\approx0{,}02546\;\mathrm{K/W}.
Logo
R_{\mathrm{tot}}\approx0{,}02653+0{,}00158+0{,}1420+0{,}02546=0{,}1956\;\mathrm{K/W}.

Passo 4

A taxa de calor no regime estacionário é
\dot Q=\frac{T_1-T_2}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{120-25}{0{,}1956}\approx485{,}8\;\mathrm{W}.

Passo 5

A temperatura em r=R_2 (ponto b) é obtida subtraindo de T_1 a queda de temperatura nas duas primeiras resistências ( R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}}):
T_b = T_1 - \dot Q\bigl(R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},\mathrm{metal}}\bigr) =120 - 485{,}8\,(0{,}02653+0{,}00158) \approx106{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura em b é aproximadamente 106{,}4^\circ\mathrm{C}.

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