Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A taxa de calor em e;

Passo 1

O enunciado descreve transferência de calor em regime estacionário através de um cilindro infinito composto por um tubo metálico (raio interno R_1 e externo R_2, condutividade k), revestido por uma camada de isolamento (de R_2 até R_3, condutividade k_1). Há convecção interna (coeficiente h_1, temperatura do fluido interna T_1) e convecção externa (coeficiente h_2, temperatura ambiente T_2). Precisamos calcular a taxa de calor \dot Q por unidade de comprimento L.

Passo 2

Modelamos a transferência de calor como um circuito térmico em série com as resistências:
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_{1}\,2\pi R_{1}L},\quad R_{\mathrm{cond},s}=\frac{\ln\!\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{2\pi k L},\quad R_{\mathrm{cond},\mathrm{ins}}=\frac{\ln\!\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{2\pi k_{1}L},\quad R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_{2}\,2\pi R_{3}L}.

Passo 3

Calculamos numericamente cada resistência usando R_{1}=0{,}10\:\mathrm{m}, R_{2}=0{,}20\:\mathrm{m}, R_{3}=0{,}25\:\mathrm{m}, L=5\:\mathrm{m}, h_{1}=12\:\mathrm{W/m^{2}K}, k=14\:\mathrm{W/mK}, k_{1}=0{,}05\:\mathrm{W/mK}, h_{2}=5\:\mathrm{W/m^{2}K}:
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{12\cdot2\pi\cdot0{,}10\cdot5}\approx0{,}0265\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},s}=\frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\cdot14\cdot5}\approx0{,}00158\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},\mathrm{ins}}=\frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\cdot0{,}05\cdot5}\approx0{,}1420\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{5\cdot2\pi\cdot0{,}25\cdot5}\approx0{,}0255\:\mathrm{K/W}.

Passo 4

Somamos as resistências para obter R_{\mathrm{total}} e usamos \Delta T=T_{1}-T_{2}=120-25=95\:\mathrm{K}:
R_{\mathrm{total}}=0{,}0265+0{,}00158+0{,}1420+0{,}0255\approx0{,}1956\:\mathrm{K/W},
\dot Q=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}=\frac{95}{0{,}1956}\approx485{,}7\:\mathrm{W}.

Resposta

A taxa de calor é \dot Q\approx486\:\mathrm{W}.

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