Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A temperatura em a;

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro composto coaxial em regime estacionário sem geração de calor, com:
– um fluido interno a \,T_{1}=120^\circ\mathrm{C} e coeficiente de convecção h_{1}=12\;\mathrm{W/m^{2}K} na superfície de raio R_{1}=0,10\;\mathrm{m};
– um tubo metálico de condutividade k=14\;\mathrm{W/mK} entre R_{1} e R_{2}=0,20\;\mathrm{m};
– um isolante de condutividade k_{1}=0,05\;\mathrm{W/mK} entre R_{2} e R_{3}=0,25\;\mathrm{m};
– convecção externa com coeficiente h_{2}=5\;\mathrm{W/m^{2}K} para um fluido a T_{2}=25^\circ\mathrm{C}.
Precisamos achar a temperatura no raio r=R_{2} (ponto a) usando o modelo de resistências térmicas em série em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Escrevemos as resistências térmicas por unidade de comprimento L=5\;\mathrm{m}:
R_{\mathrm{conv},1} = \frac{1}{h_{1}\,2\pi R_{1}L},\quad R_{\mathrm{cond},m} = \frac{\ln\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{2\pi\,k\,L},
R_{\mathrm{cond},i} = \frac{\ln\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{2\pi\,k_{1}\,L},\quad R_{\mathrm{conv},2} = \frac{1}{h_{2}\,2\pi R_{3}L},
e a resistência total
R_{\mathrm{tot}} = R_{\mathrm{conv},1} + R_{\mathrm{cond},m} + R_{\mathrm{cond},i} + R_{\mathrm{conv},2}.

Passo 3

Substituindo os valores
L=5,\;R_{1}=0,10,\;R_{2}=0,20,\;R_{3}=0,25,\;k=14,\;k_{1}=0,05,\;h_{1}=12,\;h_{2}=5,
obtém-se
R_{\mathrm{conv},1}\approx0,0265\;\mathrm{K/W},\quad R_{\mathrm{cond},m}\approx0,00158\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},i}\approx0,1420\;\mathrm{K/W},\quad R_{\mathrm{conv},2}\approx0,0255\;\mathrm{K/W},
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R_{\mathrm{tot}}\approx0,1956\;\mathrm{K/W}.

Passo 4

A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{1}-T_{2} = 120 - 25 = 95\;\mathrm{K},
portanto o fluxo de calor total é
Q = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{tot}}} = \frac{95}{0,1956}\approx485{,}9\;\mathrm{W}.

Passo 5

A temperatura no ponto a (raio R_{2}) vem da queda até ali pelas resistências interna e metálica:
T(R_{2}) = T_{1} \;-\; Q\,\bigl(R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},m}\bigr) \approx120 - 485{,}9\times(0,0265+0,00158) \approx106{,}3\;^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura no ponto a é aproximadamente 106{,}3\;^\circ\mathrm{C}.

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