Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A taxa de calor em d;

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera composta em estado estacionário, sem geração interna de calor, com três camadas circulares concêntricas:
  1. Convecção interna no raio R_{1} com fluido a T_{1}=120^\circ\mathrm{C} e coeficiente h_{1}=12\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
  2. Condução através de uma casca esférica de R_{1} até R_{2} com condutividade k=14\\ \mathrm{W/mK}.
  3. Condução através de uma segunda casca esférica de R_{2} até R_{3} com condutividade k_{1}=0{,}05\\ \mathrm{W/mK}.
  4. Convecção externa na superfície de raio R_{3} com fluido a T_{2}=25^\circ\mathrm{C} e coeficiente h_{2}=5\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Vamos usar o modelo de circuito térmico em série:
R_{\rm total} =R_{\rm conv,\,i}+R_{\rm cond,\,1}+R_{\rm cond,\,2}+R_{\rm conv,\,e}
e depois
\dot Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\rm total}}.

Passo 2

Calcular a resistência de convecção interna em r=R_{1}. A área da esfera é
A_{1}=4\pi R_{1}^{2},\quad R_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m},
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R_{\rm conv,\,i} =\frac{1}{h_{1}A_{1}} =\frac{1}{12\cdot4\pi(0{,}10)^{2}} \approx0{,}6634\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

Calcular a resistência de condução através da casca de R_{1} até R_{2}. Para condução esférica:
R_{\rm cond,\,1} =\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr),
com R_{2}=0{,}20\\ \mathrm{m} e k=14\\ \mathrm{W/mK}. Então
R_{\rm cond,\,1} =\frac{1}{4\pi\cdot14}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) =\frac{1}{175{,}93}\,(10-5) \approx0{,}0284\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Calcular a resistência de condução da segunda casca de R_{2} até R_{3}. Ainda pela fórmula esférica, com R_{3}=0{,}25\\ \mathrm{m} e k_{1}=0{,}05\\ \mathrm{W/mK}:
R_{\rm cond,\,2} =\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) \approx1{,}5916\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Calcular a resistência de convecção externa em r=R_{3}:
A_{3}=4\pi R_{3}^{2},\quad R_{3}=0{,}25\\ \mathrm{m},
R_{\rm conv,\,e} =\frac{1}{h_{2}A_{3}} =\frac{1}{5\cdot4\pi(0{,}25)^{2}} \approx0{,}2547\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somar todas as resistências e calcular a taxa de calor:
R_{\rm total} =0{,}6634+0{,}0284+1{,}5916+0{,}2547 \approx2{,}5381\\ \mathrm{K/W},
\dot Q =\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\rm total}} =\frac{120-25}{2{,}5381} \approx37{,}4\\ \mathrm{W}.

Resposta

A taxa de calor no ponto d é \dot Q\approx37{,}4\\ \mathrm{W}.

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