Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A temperatura em a;

Passo 1

O enunciado descreve esferas concêntricas em regime estacionário, sem geração interna, com convecção na superfície interna (raio R_1) e na superfície externa (raio R_3), e condução no material de condutividade k entre essas superfícies. Os dados são:
\;T_1=120^\circ\mathrm{C},\;h_1=12\;\mathrm{W/(m^2K)},\;T_2=25^\circ\mathrm{C},\;h_2=5\;\mathrm{W/(m^2K)},\;R_1=0,10\;\mathrm m,\;R_3=0,25\;\mathrm m,\;k=14\;\mathrm{W/(mK)}.
Queremos a temperatura na face interna do sólido (ponto “a”), ou seja, na superfície de raio R_1 do material condutor.

Passo 2

Modelamos como três resistências em série: convecção interna, condução esférica e convecção externa.
A área esférica interna é
A_1 = 4\pi R_1^2
e a área externa
A_3 = 4\pi R_3^2.
As resistências são
R_{\mathrm{conv},1} = \frac{1}{h_1\,A_1},
R_{\mathrm{cond}} = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_3}\Bigr),
R_{\mathrm{conv},2} = \frac{1}{h_2\,A_3}.

Passo 3

Calculando numericamente:
A_1 = 4\pi(0,10)^2 = 0,04\pi\;\mathrm m^2,\quad A_3 = 4\pi(0,25)^2 = 0,25\pi\;\mathrm m^2,
R_{\mathrm{conv},1} = \frac{1}{12\;(0,04\pi)}\approx0,664\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond}} = \frac{1}{4\pi\cdot14}\Bigl(\frac{1}{0,10}-\frac{1}{0,25}\Bigr) = \frac{6}{56\pi}\approx0,0341\;\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2} = \frac{1}{5\;(0,25\pi)}\approx0,2547\;\mathrm{K/W}.
Somando:
R_{\mathrm{tot}} = R_{\mathrm{conv},1} + R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv},2} \approx0,664 + 0,0341 +0,2547 =0,9528\;\mathrm{K/W}.

Passo 4

A taxa de calor é
\dot Q = \frac{T_1 - T_2}{R_{\mathrm{tot}}} = \frac{120 - 25}{0,9528}\approx99,7\;\mathrm W.

Passo 5

A temperatura na face interna do material (ponto “a”) é a temperatura do fluido menos a queda na resistência de convecção interna:
T(a) = T_1 - \dot Q\,R_{\mathrm{conv},1} = 120 - 99{,}7\cdot0,664 \approx53{,}8^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T(a)\approx54^\circ\mathrm{C}.

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