Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A taxa de calor em e;

Passo 1

O enunciado descreve um corpo esférico composto por duas camadas concêntricas (uma de material isolante, de condutividade térmica k_{1}, e outra de material condutor, de condutividade k), submetido à convecção interna (fluido a temperatura T_{1}, coeficiente h_{1} na superfície de raio R_{1}) e à convecção externa (fluido a T_{2}, coeficiente h_{2} na superfície de raio R_{3}). Não há geração interna de calor. Em regime estacionário, a taxa de calor \dot{Q} é a mesma em toda a série de resistências térmicas, que calcularemos pela analogia elétrica.

Passo 2

Calcular a resistência convectiva interna
R_{\mathrm{conv,1}} =\frac{1}{h_{1}\,4\pi R_{1}^{2}}
Substituindo h_{1}=12\\ \mathrm{W/m^{2}K} e R_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m}:
R_{\mathrm{conv,1}} =\frac{1}{12\cdot4\pi(0{,}10)^{2}} \approx0{,}664\\ \mathrm{K/W}.

Passo 3

Calcular a resistência de condução na camada isolante (entre R_{1} e R_{2})
R_{\mathrm{cond,1}} =\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr).
Com k_{1}=0{,}05\\ \mathrm{W/mK}, R_{2}=0{,}20\\ \mathrm{m}:
R_{\mathrm{cond,1}} =\frac{1}{4\pi\,(0{,}05)}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) =\frac{1}{0{,}20\pi}(10-5) =\frac{25}{\pi}\approx7{,}96\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Calcular a resistência de condução na camada condutora (entre R_{2} e R_{3})
R_{\mathrm{cond,2}} =\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr).
Com k=14\\ \mathrm{W/mK}, R_{3}=0{,}25\\ \mathrm{m}:
R_{\mathrm{cond,2}} =\frac{1}{4\pi\,(14)}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) =\frac{1}{56\pi}(5-4) =\frac{1}{56\pi}\approx0{,}00568\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Calcular a resistência convectiva externa
R_{\mathrm{conv,2}} =\frac{1}{h_{2}\,4\pi R_{3}^{2}}
Substituindo h_{2}=5\\ \mathrm{W/m^{2}K} e R_{3}=0{,}25\\ \mathrm{m}:
R_{\mathrm{conv,2}} =\frac{1}{5\cdot4\pi(0{,}25)^{2}} \approx0{,}255\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somar todas as resistências para obter R_{\mathrm{tot}} e calcular \dot{Q}:
R_{\mathrm{tot}} =R_{\mathrm{conv,1}} +R_{\mathrm{cond,1}} +R_{\mathrm{cond,2}} +R_{\mathrm{conv,2}} \approx0{,}664+7{,}96+0{,}00568+0{,}255 \approx8{,}886\\ \mathrm{K/W}.
Então
\dot{Q} =\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{120-25}{8{,}886} \approx10{,}7\\ \mathrm{W}.

Resposta

\dot{Q}\approx10{,}7\\ \mathrm{W}

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