Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A temperatura em c;

Passo 1

Resumindo o problema: temos duas camadas esféricas concêntricas sem geração de calor em regime estacionário, com convecção no interior (coeficiente h_1 na superfície de raio R_1) e no exterior (coeficiente h_2 na superfície de raio R_3), e condutividades térmicas diferentes em cada camada:
– camada interna (entre R_1 e R_2) com k_1,
– camada externa (entre R_2 e R_3) com k.
As temperaturas do fluido interno e externo são, respectivamente, \mathrm{T}_1 e \mathrm{T}_2.
O que precisamos: calcular a temperatura no ponto de interface entre as duas camadas, isto é, na esfera de raio R_2 (denotada de “c” no enunciado).

Passo 2

Primeiro passamos tudo para unidades do SI e anotamos os valores:
\mathrm{T}_1=120^\circ\mathrm{C}, \mathrm{T}_2=25^\circ\mathrm{C}
h_1=12\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}, h_2=5\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}
R_1=0{,}10\\ \mathrm{m}, R_2=0{,}20\\ \mathrm{m}, R_3=0{,}25\\ \mathrm{m}
k_1=0{,}05\\ \mathrm{W/(m\,K)}, k=14\\ \mathrm{W/(m\,K)}

Passo 3

Em regime estacionário a mesma taxa de calor Q atravessa todos os elementos térmicos em série. As resistências térmicas são:
convecção interna
R_{c1} = \frac{1}{h_1\,4\pi R_1^2}
condução na camada interna
R_{\text{cond},1} = \frac{1}{4\pi k_1}\Bigl(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\Bigr)
condução na camada externa
R_{\text{cond},2} = \frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_3}\Bigr)
convecção externa
R_{c2} = \frac{1}{h_2\,4\pi R_3^2}
Logo,
R_{\text{total}} = R_{c1} + R_{\text{cond},1} + R_{\text{cond},2} + R_{c2}, \quad Q = \frac{\mathrm{T}_1 - \mathrm{T}_2}{R_{\text{total}}}.

Passo 4

Calculando cada resistência:
R_{c1} = \frac{1}{12\cdot4\pi(0{,}10)^2} \approx 0{,}664\\ \mathrm{K/W},
R_{\text{cond},1} = \frac{1}{4\pi\,(0{,}05)}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) \approx 7{,}958\\ \mathrm{K/W},
R_{\text{cond},2} = \frac{1}{4\pi\,14}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) \approx 0{,}00568\\ \mathrm{K/W},
R_{c2} = \frac{1}{5\cdot4\pi(0{,}25)^2} \approx 0{,}255\\ \mathrm{K/W}.
Assim
R_{\text{total}} \approx 0{,}664 + 7{,}958 + 0{,}00568 + 0{,}255 = 8{,}882\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

A taxa de calor é
Q = \frac{120 - 25}{8{,}882} \approx 10{,}70\\ \mathrm{W}.

Passo 6

A temperatura na interface de raio R_2 (ponto “c”) é obtida subtraindo de \mathrm{T}_1 a queda de temperatura até ali, ou seja
T_c = \mathrm{T}_1 - Q\bigl(R_{c1} + R_{\text{cond},1}\bigr) = 120 - 10{,}70\,(0{,}664 + 7{,}958) \approx 27{,}8^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura no ponto de interface entre as camadas (raio R_2) é, aproximadamente, 27,8^\circ\mathrm{C}.

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