Transferência de Calor em Estado Estacionário em Esferas sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} & \mathrm{T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} & \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \
\mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} & \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm} & \
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} & \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine: A temperatura em d;

Passo 1

O problema trata de transferência de calor em regime estacionário numa configuração de esferas concêntricas sem geração interna de calor. Há duas trocas convectivas: na superfície interna r=R_{1}=0{,}10\:\mathrm{m} com coeficiente h_{1}=12\:\mathrm{W/m^{2}K} e fluido a \mathrm{T}_{1}=120^\circ\mathrm{C}, e na superfície externa r=R_{3}=0{,}25\:\mathrm{m} com h_{2}=5\:\mathrm{W/m^{2}K} e fluido a \mathrm{T}_{2}=25^\circ\mathrm{C}. Entre essas superfícies há duas camadas esféricas: de R_{1} a R_{2}=0{,}20\:\mathrm{m} com condutividade k_{1}=0{,}05\:\mathrm{W/mK} e de R_{2} a R_{3} com k=14\:\mathrm{W/mK}. Queremos calcular a temperatura em d, que é a interface entre as duas camadas, ou seja em r=R_{2}.

Passo 2

Modelamos o sistema por resistências térmicas em série, lembrando que para condução esférica sem geração
R_{\mathrm{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{r_{\mathrm{i}}}-\frac{1}{r_{\mathrm{o}}}\Bigr)
e para convecção em superfície esférica
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,4\pi r^{2}}\,.
Assim obtemos as quatro resistências
R_{\mathrm{conv},1}=\frac{1}{h_{1}\,4\pi R_{1}^{2}},\quad R_{\mathrm{cond},1}=\frac{1}{4\pi k_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\Bigr),
R_{\mathrm{cond},2}=\frac{1}{4\pi k}\Bigl(\frac{1}{R_{2}}-\frac{1}{R_{3}}\Bigr),\quad R_{\mathrm{conv},2}=\frac{1}{h_{2}\,4\pi R_{3}^{2}}.
A resistência total é
R_{\mathrm{tot}} =R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}+R_{\mathrm{cond},2}+R_{\mathrm{conv},2}.
A vazão de calor é
\dot Q=\frac{\mathrm{T}_{1}-\mathrm{T}_{2}}{R_{\mathrm{tot}}}.
Para achar a temperatura em r=R_{2} usamos
T_{d} =\mathrm{T}_{1}-\dot Q\,(R_{\mathrm{conv},1}+R_{\mathrm{cond},1}).

Passo 3

Calculando numericamente cada resistência:
R_{\mathrm{conv},1} =\frac{1}{12\cdot4\pi\,(0{,}10)^{2}} \approx0{,}6634\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},1} =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}05}\Bigl(\frac{1}{0{,}10}-\frac{1}{0{,}20}\Bigr) =\frac{1}{0{,}2\pi}(10-5) =\frac{5}{0{,}2\pi} \approx7{,}9577\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{cond},2} =\frac{1}{4\pi\cdot14}\Bigl(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}25}\Bigr) \approx0{,}00568\:\mathrm{K/W},
R_{\mathrm{conv},2} =\frac{1}{5\cdot4\pi\,(0{,}25)^{2}} \approx0{,}2547\:\mathrm{K/W}.
Logo
R_{\mathrm{tot}} \approx0{,}6634+7{,}9577+0{,}00568+0{,}2547 =8{,}8815\:\mathrm{K/W}.

Passo 4

A vazão de calor é
\dot Q =\frac{120-25}{8{,}8815} \approx10{,}695\:\mathrm{W}.

Passo 5

A temperatura na interface r=R_{2} fica
T_{d} =120-\;10{,}695\,(0{,}6634+7{,}9577) \approx120-92{,}205 \approx27{,}8^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{d}\approx27{,}8^\circ\mathrm{C}.

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