Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla onde a ordem de integração precisa ser invertida. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como descrevê-los de forma diferente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral original:
Aqui, a integração interna é em relação a $ x $ e vai de $ \sqrt[3]{y} $ até $ 2 $. A integração externa é em relação a $ y $ de $ 0 $ a $ 8 $.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos primeiro entender a região de integração. Vamos pensar nos limites:
- $ y $ varia de $ 0 $ a $ 8 $.
- Para cada $ y $, $ x $ varia de $ \sqrt[3]{y} $ até $ 2 $.
Vamos desenhar isso no plano $ xy $. A curva $ x = \sqrt[3]{y} $ pode ser reescrita como $ y = x^3 $. Então, a região está entre $ y = 0 $ e $ y = 8 $, e entre $ x = \sqrt[3]{y} $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Agora, invertendo a ordem de integração, queremos expressar $ y $ em termos de $ x $. Observamos que para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ x^3 $ (já que $ y = x^3 $).
Além disso, $ x $ varia de $ 0 $ até $ 2 $, porque $ \sqrt[3]{8} = 2 $.
Então, a integral invertida fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a $ y $:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = 16 + x^{7} $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para $ x $:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de $ x $ de $ 0 $ a $ 2 $: