1. Numa transformação de um gás perfeito, os estados final e inicial acusaram a mesma energia interna.
    Certamente:
    a) a transformação foi cíclica.
    b) a transformação isométrica.
    c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
    d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
    e) não houve troca de trabalho entre o gás e o meio.

Passo 1

O enunciado diz: numa transformação de um gás perfeito os estados inicial e final têm a mesma energia interna. Pergunta-se qual das alternativas abaixo é certamente verdadeira:
a) a transformação foi cíclica.
b) a transformação isométrica (isto é, de volume constante).
c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
e) não houve troca de trabalho entre o gás e o meio.
Informações relevantes fornecidas: o gás é um gás perfeito (ideal) e a energia interna do estado inicial é igual à do estado final, isto é, \Delta U=0.

Passo 2

Entendendo o que significa “energia interna” para um gás perfeito.
Para um gás perfeito (ideal) a energia interna U depende somente da temperatura T. Em forma prática e útil usamos a relação
U = n c_V T,
onde:
  • n é o número de mols do gás;
  • c_V é a capacidade térmica molar a volume constante (uma constante do gás, pode depender do tipo de gás, mas não do estado);
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
Explicação física curta e intuitiva: num gás ideal não há energia potencial entre moléculas (não há interação), então a energia interna é só energia cinética das moléculas, e a energia cinética média depende apenas da temperatura. Por isso U é função apenas de T.

Passo 3

Usando a propriedade do Passo 2: se U depende somente de T, então igualdade de energias internas implica igualdade de temperaturas. Formalmente, se U_i=U_f e U=n c_V T, então
n c_V T_i = n c_V T_f \quad\Rightarrow\quad T_i = T_f.
Portanto a alternativa \text{d)} é verdadeira com certeza: os estados inicial e final têm a mesma temperatura.

Passo 4

Agora verifico por que as outras alternativas não são necessariamente verdadeiras, usando a Primeira Lei da Termodinâmica. A forma mais utilizada é
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (positivo se aumenta);
  • Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor);
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se o sistema realiza trabalho).
No nosso caso \Delta U=0, então a equação vira
0 = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = W.
Isso diz que calor e trabalho trocados são iguais (em valor algébrico), mas não diz que sejam nulos. Logo não podemos afirmar, a partir de \Delta U=0 sozinho, que Q=0 (alternativa c) é falsa em geral) nem que W=0 (alternativa e) é falsa em geral).

Passo 5

Dou um exemplo concreto e simples que mostra que alternativas b), c), e) e a) podem falhar mesmo com \Delta U=0.
Considere uma transformação isotérmica (temperatura constante) de um gás ideal, por exemplo uma expansão reversível a temperatura T. Para uma transformação isotérmica de um gás ideal temos \Delta U=0 (já que U depende só de T e T é constante). O trabalho realizado reversivelmente pelo gás ao expandir de volume V_1 para V_2 é
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right),
e o calor trocado é Q=W. Se V_2\neq V_1 então W\neq 0 e Q\neq 0. Portanto:
  • a transformação não é isométrica (volume mudou) — mostra que b) não é necessariamente verdade;
  • houve troca de calor ( Q\neq 0) — mostra que c) não é necessariamente verdade;
  • houve troca de trabalho ( W\neq 0) — mostra que e) não é necessariamente verdade.

Passo 6

Sobre a alternativa a) (transformação cíclica): uma transformação cíclica é aquela que retorna o sistema exatamente ao mesmo ponto de estado, ou seja, todas as variáveis de estado voltam aos mesmos valores ( P,V,T iguais inicialmente e finalmente). Numa transformação cíclica U realmente volta ao valor inicial, então \Delta U=0 seria verdade numa transformação cíclica, mas a recíproca não vale: \Delta U=0 não garante que P e V também sejam iguais — por exemplo a isotérmica do Passo 5 tem \Delta U=0 sem ser cíclica. Logo a) também não é necessariamente verdadeira.

Passo 7

Resumo lógico e resposta certa: a propriedade fundamental usada é que, para um gás perfeito, U depende apenas de T. Assim \Delta U=0 implica T_i=T_f. As demais alternativas (a, b, c, e) exigem condições adicionais (retorno do estado, volume constante, adiabaticidade, nenhum trabalho) que não são inferíveis apenas de \Delta U=0. Portanto apenas a alternativa d) é certamente verdadeira.

Resposta

d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.

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