- Numa transformação de um gás perfeito, os estados final e inicial acusaram a mesma energia interna.
Certamente:
a) a transformação foi cíclica.
b) a transformação isométrica.
c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
e) não houve troca de trabalho entre o gás e o meio.
Certamente:
a) a transformação foi cíclica.
b) a transformação isométrica.
c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
e) não houve troca de trabalho entre o gás e o meio.
Passo 1
O enunciado diz: numa transformação de um gás perfeito os estados inicial e final têm a mesma energia interna. Pergunta-se qual das alternativas abaixo é certamente verdadeira:
a) a transformação foi cíclica.
b) a transformação isométrica (isto é, de volume constante).
c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
e) não houve troca de trabalho entre o gás e o meio.
a) a transformação foi cíclica.
b) a transformação isométrica (isto é, de volume constante).
c) não houve troca de calor entre o gás e o ambiente.
d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.
e) não houve troca de trabalho entre o gás e o meio.
Informações relevantes fornecidas: o gás é um gás perfeito (ideal) e a energia interna do estado inicial é igual à do estado final, isto é,
.
Passo 2
Entendendo o que significa “energia interna” para um gás perfeito.
Para um gás perfeito (ideal) a energia interna depende somente da temperatura
. Em forma prática e útil usamos a relação
Para um gás perfeito (ideal) a energia interna
onde:
-
é o número de mols do gás; -
é a capacidade térmica molar a volume constante (uma constante do gás, pode depender do tipo de gás, mas não do estado); -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
Explicação física curta e intuitiva: num gás ideal não há energia potencial entre moléculas (não há interação), então a energia interna é só energia cinética das moléculas, e a energia cinética média depende apenas da temperatura. Por isso
é função apenas de
.
Passo 3
Usando a propriedade do Passo 2: se
depende somente de
, então igualdade de energias internas implica igualdade de temperaturas. Formalmente, se
e
, então
Portanto a alternativa
é verdadeira com certeza: os estados inicial e final têm a mesma temperatura.
Passo 4
Agora verifico por que as outras alternativas não são necessariamente verdadeiras, usando a Primeira Lei da Termodinâmica. A forma mais utilizada é
onde:
-
é a variação da energia interna do sistema (positivo se aumenta); -
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor); -
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (positivo se o sistema realiza trabalho).
No nosso caso
, então a equação vira
Isso diz que calor e trabalho trocados são iguais (em valor algébrico), mas não diz que sejam nulos. Logo não podemos afirmar, a partir de
sozinho, que
(alternativa c) é falsa em geral) nem que
(alternativa e) é falsa em geral).
Passo 5
Dou um exemplo concreto e simples que mostra que alternativas b), c), e) e a) podem falhar mesmo com
.
Considere uma transformação isotérmica (temperatura constante) de um gás ideal, por exemplo uma expansão reversível a temperatura
. Para uma transformação isotérmica de um gás ideal temos
(já que
depende só de
e
é constante). O trabalho realizado reversivelmente pelo gás ao expandir de volume
para
é
e o calor trocado é
. Se
então
e
. Portanto:
- a transformação não é isométrica (volume mudou) — mostra que b) não é necessariamente verdade;
- houve troca de calor (
) — mostra que c) não é necessariamente verdade; - houve troca de trabalho (
) — mostra que e) não é necessariamente verdade.
Passo 6
Sobre a alternativa a) (transformação cíclica): uma transformação cíclica é aquela que retorna o sistema exatamente ao mesmo ponto de estado, ou seja, todas as variáveis de estado voltam aos mesmos valores (
iguais inicialmente e finalmente). Numa transformação cíclica
realmente volta ao valor inicial, então
seria verdade numa transformação cíclica, mas a recíproca não vale:
não garante que
e
também sejam iguais — por exemplo a isotérmica do Passo 5 tem
sem ser cíclica. Logo a) também não é necessariamente verdadeira.
Passo 7
Resumo lógico e resposta certa: a propriedade fundamental usada é que, para um gás perfeito,
depende apenas de
. Assim
implica
. As demais alternativas (a, b, c, e) exigem condições adicionais (retorno do estado, volume constante, adiabaticidade, nenhum trabalho) que não são inferíveis apenas de
. Portanto apenas a alternativa d) é certamente verdadeira.
Resposta
d) são iguais as temperaturas dos estados inicial e final.