A transformação linear
definida por
representa
em
. Encontre a representação matricial de
em relação às bases ordenadas
. Para cada um dos seguintes vetores
em
, encontre as coordenadas de
em relação à base ordenada
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede a matriz de
em relação à base ordenada do domínio
e à base ordenada do contradomínio
, além de coordenar
em
para um
dado.
Passo 2
Para montar a matriz de
, precisamos escrever cada imagem
sendo
como combinação linear dos vetores da “base” do contradomínio
. Explicitamente, para cada
achamos escalares
tais que
Esses
formam a
-ésima coluna da matriz de
.
Passo 3
Contudo, o conjunto
não é linearmente independente em
, pois
e
são múltiplos um do outro. Logo não se trata de uma base de
. Sem ter uma base válida no contradomínio, não há forma única — nem bem definida — de obter coordenadas de polinômios em relação a
.
Resposta
Não é possível resolver o exercício porque
não é um conjunto linearmente independente em
e, portanto, não forma uma base.