A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} \mathrm{e}\{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(a) x^{2}+2 x-3

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
L\colon P_{2}\to P_{2},\quad L\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+p(0),
e pede a matriz de L em relação à base ordenada do domínio \{x^{2},x,1\} e à base ordenada do contradomínio \{2,1,-x\}, além de coordenar L(p) em \{2,1,-x\} para um p(x) dado.

Passo 2

Para montar a matriz de L, precisamos escrever cada imagem L(b_{i}) b_{i} sendo x^{2},x,1 como combinação linear dos vetores da “base” do contradomínio \{2,1,-x\}. Explicitamente, para cada i achamos escalares a_{i},b_{i},c_{i} tais que
L(b_{i})(x)=a_{i}\cdot 2 \;+\; b_{i}\cdot 1\;+\;c_{i}\,(-x).
Esses (a_{i},b_{i},c_{i}) formam a i-ésima coluna da matriz de L.

Passo 3

Contudo, o conjunto \{2,1,-x\} não é linearmente independente em P_{2}, pois 2 e 1 são múltiplos um do outro. Logo não se trata de uma base de P_{2}. Sem ter uma base válida no contradomínio, não há forma única — nem bem definida — de obter coordenadas de polinômios em relação a \{2,1,-x\}.

Resposta

Não é possível resolver o exercício porque \{2,1,-x\} não é um conjunto linearmente independente em P_{2} e, portanto, não forma uma base.

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