Seja a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), teste se A é diagonalizável, e se A é diagonalizável encontre a matriz Q tal que Q^{-1} A Q é matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede para testar se A é diagonalizável. Para isso, vamos usar a definição: A é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3) formada por autovetores de A. Precisamos então achar autovalores, seus espaços próprios (autovetores) e comparar as multiplicidades algébricas com as geométricas.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo:
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = 3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=1\), consideramos \[A - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e resolvemos (A - I)x = 0. Isso gera o sistema
\begin{cases} x_{2} = 0,\\\\ 2x_{3} = 0, \end{cases}
logo x_{2}=0\] e \(x_{3}=0 e x_{1} fica livre. O espaço próprio de \lambda=1 tem dimensão geométrica igual a 1.

Passo 4

Para \lambda=3, consideramos
A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e resolvemos (A - 3I)x = 0. O sistema dá uma única condição linear independente, resultando num espaço próprio de dimensão geométrica igual a 1. Como a multiplicidade algébrica de \lambda=3 também é 1, essa parte está ok.

Passo 5

Uma matriz 3\times3 é diagonalizável se a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios for igual a 3. Aqui temos
\dim E_{1} = 1,\quad \dim E_{3} = 1,
totalizando 1+1=2 < 3. Falta um autovetor, pois para \lambda=1 a multiplicidade algébrica é 2 mas a geométrica é apenas 1.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

Exercícios relacionados