Seja a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), teste se A é diagonalizável, e se A é diagonalizável encontre a matriz Q tal que Q^{-1} A Q é matriz diagonal.
e pede para testar se A é diagonalizável. Para isso, vamos usar a definição: A é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3) formada por autovetores de A. Precisamos então achar autovalores, seus espaços próprios (autovetores) e comparar as multiplicidades algébricas com as geométricas.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo:
e resolvemos (A - 3I)x = 0. O sistema dá uma única condição linear independente, resultando num espaço próprio de dimensão geométrica igual a 1. Como a multiplicidade algébrica de \lambda=3 também é 1, essa parte está ok.
Passo 5
Uma matriz 3\times3 é diagonalizável se a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios for igual a 3. Aqui temos
\dim E_{1} = 1,\quad \dim E_{3} = 1,
totalizando 1+1=2 < 3. Falta um autovetor, pois para \lambda=1 a multiplicidade algébrica é 2 mas a geométrica é apenas 1.