A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} \mathrm{e}\{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(b) x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar a matriz de L\colon P_2\to P_2 (ainda que o enunciado cite P_3, a base dada \{x^2,x,1\} tem dimensão 3, logo L\colon P_2\to P_2) em relação às bases ordenadas
B=\{x^2,x,1\} \quad\text{(domínio)}í
e
C=\{2,\,1,\,-x\} \quad\text{(contradomínio).}í
  1. Para o polinômio p(x)=x^2+1, calcular as coordenadas de L(p(x)) na base C.

Passo 2

Para expressarmos quaisquer imagens L(q(x)) na base C, precisamos que C seja de fato uma base de P_2. Mas note que os vetores
2\quad\text{e}\quad1
são proporcionais (ambos constantes), logo \{2,1,-x\} é linearmente dependente e não gera todo P_2 de modo independente.
Sem um conjunto linearmente independente no contradomínio, não há representação matricial única de L nem coordenadas únicas de L(p).

Resposta

Não é possível prosseguir porque \{2,1,-x\} não é base de P_2 (é linearmente dependente), logo não há como definir de modo único nem a matriz de L nem as coordenadas de L(x^2+1) nesse “conjunto”.

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