A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} \mathrm{e}\{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(d) 4 x^{2}+2 x

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
L\colon P_3 \to P_2,\quad L\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)+p(0),
onde a base do domínio é B=\{x^2,x,1\} e a base do contradomínio é \displaystyle C=\{2,\,1,\,-x\}.
Queremos, para p(x)=4x^2+2x, achar as coordenadas de L\bigl(p(x)\bigr) em relação a C.

Passo 2

Calcular L nos vetores da base do domínio e expressar em C.
  1. L(x^2)= (x^2)'+(x^2)(0)=2x+0=2x.
    Procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
2x=\alpha\cdot2+\beta\cdot1+\gamma\cdot(-x) =2\alpha+\beta-\gamma\,x.
Comparando coeficientes: 0=2\alpha+\beta e 2=-\gamma, logo podemos escolher \alpha=0, \beta=0, \gamma=-2.
Assim \bigl[L(x^2)\bigr]_C=(0,0,-2)^\mathsf{T}.
2. L(x)= (x)'+x(0)=1+0=1.
Queremos
1=2\alpha+\beta-\gamma\,x.
Daí \gamma=0 e 1=2\alpha+\beta. Tomando \alpha=0, \beta=1, obtemos \bigl[L(x)\bigr]_C=(0,1,0)^\mathsf{T}.
3. L(1)= (1)'+1(0)=0+1=1, o mesmo caso anterior, logo \bigl[L(1)\bigr]_C=(0,1,0)^\mathsf{T}.

Passo 3

A matriz de L nas bases B (colunas) e C (linhas) é
[A]_{C\leftarrow B} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -2& 0 & 0 \end{pmatrix},
onde a 1ª coluna é \bigl[L(x^2)\bigr]_C, a 2ª é \bigl[L(x)\bigr]_C e a 3ª é \bigl[L(1)\bigr]_C.

Passo 4

O polinômio p(x)=4x^2+2x tem coordenadas em B dadas por
[p]_B = \begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos
[L(p)]_C =[A]_{C\leftarrow B}\,[p]_B =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -2& 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\\ 2\\\\ -8 \end{pmatrix}.
Alternativamente, L(p)=p'(x)+p(0)=8x+2 e resolvendo \;8x+2=2\alpha+\beta-\gamma x\; \alpha=0,\beta=2,\gamma=-8.

Resposta

As coordenadas de L(4x^2+2x) em relação à base \{2,1,-x\} são
(0,\,2,\,-8)^\mathsf{T}.

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