A transformação linear L definida por L(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0) representa P_{3} em P_{2}. Encontre a representação matricial de L em relação às bases ordenadas \left\{x^{2}, x, 1\right\} \mathrm{e}\{2,1,-x\}. Para cada um dos seguintes vetores p(x) em P_{3}, encontre as coordenadas de L(p(x)) em relação à base ordenada \{2,1,-x\} :
(d) 4 x^{2}+2 x
onde a base do domínio é B=\{x^2,x,1\} e a base do contradomínio é \displaystyle C=\{2,\,1,\,-x\}.
Queremos, para p(x)=4x^2+2x, achar as coordenadas de L\bigl(p(x)\bigr) em relação a C.
Passo 2
Calcular L nos vetores da base do domínio e expressar em C.
L(x^2)= (x^2)'+(x^2)(0)=2x+0=2x.
Procuramos \alpha,\beta,\gamma tais que
Comparando coeficientes: 0=2\alpha+\beta e 2=-\gamma, logo podemos escolher \alpha=0, \beta=0, \gamma=-2.
Assim \bigl[L(x^2)\bigr]_C=(0,0,-2)^\mathsf{T}.
2. L(x)= (x)'+x(0)=1+0=1.
Queremos
1=2\alpha+\beta-\gamma\,x.
Daí \gamma=0 e 1=2\alpha+\beta. Tomando \alpha=0, \beta=1, obtemos \bigl[L(x)\bigr]_C=(0,1,0)^\mathsf{T}.
3. L(1)= (1)'+1(0)=0+1=1, o mesmo caso anterior, logo \bigl[L(1)\bigr]_C=(0,1,0)^\mathsf{T}.
Passo 3
A matriz de L nas bases B (colunas) e C (linhas) é