Seja
base canônica do
. Se
é o operador tal que
,
,
(a) determine
(b) e mostre que
e, portanto,
. (Nota:
é o operador identidade:
)
(a) determine
(b) e mostre que
Passo 1
O enunciado define o operador linear
que, na base canônica
, faz
O conteúdo é operador linear e cálculo de potências de operadores. Para resolver, basta usar a linearidade de
num vetor genérico e depois compor
várias vezes.
Passo 2
Seja
. Escrevemos
Pela linearidade de
,
Passo 3
Substituindo as imagens de cada
, obtemos
Em coordenadas, isto é
Passo 4
Para
, aplicamos
duas vezes:
Pelo resultado do passo anterior,
Passo 5
Para
, compomos mais uma vez:
Como
para todo vetor, concluímos que
Passo 6
Se
, então
é invertível e sua inversa satisfaz
pois
.
Resposta
(a)
(b) e, portanto,
(b)