Seja B=e1, e2, e3 base canônica do R^3. Se F in L(R^3) é o operador tal que F(e1)=e2, F(e2)=e3, F(e3)=e1,
(a) determine F(x, y, z)
(b) e mostre que F^3=I e, portanto, F^2=F^-1. (Nota: I é o operador identidade: I(v)=v )

Passo 1

O enunciado define o operador linear FcolonR^3toR^3 que, na base canônica B=boldsymbol e1,boldsymbol e2,boldsymbol e3, faz
F(boldsymbol e1)=boldsymbol e2, F(boldsymbol e2)=boldsymbol e3, F(boldsymbol e3)=boldsymbol e1
O conteúdo é operador linear e cálculo de potências de operadores. Para resolver, basta usar a linearidade de F num vetor genérico e depois compor F várias vezes.

Passo 2

Seja boldsymbol v=(x,y,z)inR^3. Escrevemos
boldsymbol v = x,boldsymbol e1 + y,boldsymbol e2 + z,boldsymbol e3
Pela linearidade de F,
F(boldsymbol v) = x,F(boldsymbol e1) + y,F(boldsymbol e2) + z,F(boldsymbol e3)

Passo 3

Substituindo as imagens de cada boldsymbol ei, obtemos
F(boldsymbol v) = x,boldsymbol e2 + y,boldsymbol e3 + z,boldsymbol e1
Em coordenadas, isto é
F(x,y,z) = (z,,x,,y)

Passo 4

Para F^2, aplicamos F duas vezes:
F^2(x,y,z) = Fl(F(x,y,z)r) = F(z,x,y)
Pelo resultado do passo anterior,
F(z,x,y) = (y,,z,,x)

Passo 5

Para F^3, compomos mais uma vez:
F^3(x,y,z) = Fl(F^2(x,y,z)r) = F(y,z,x) = (x,,y,,z)
Como F^3(x,y,z)=(x,y,z) para todo vetor, concluímos que
F^3 = I

Passo 6

Se F^3=I, então F é invertível e sua inversa satisfaz
F^-1 = F^2,
pois F^2circ F = F^3 = I.

Resposta

(a) F(x,y,z) = (z,,x,,y)
(b) F^3 = I e, portanto, F^2 = F^-1

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