Considere F, G in L(R^2) dados por F(x, y)=(x-y, x) e G(x, y)=(x, 0). Determine:
G^3

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Gcolon R^2 to R^2, G(x,y) = (x,0),
e pede o iterado de ordem 3, ou seja
G^3 = G circ G circ G

Passo 2

Lembrando que, para duas transformações H1,H2, vale
(H1circ H2)(x,y) = H1l(H2(x,y)r)
Logo, para achar G^3 basta compor G com ela mesma três vezes.

Passo 3

Primeiro calculemos G^2:
G^2(x,y) = Gl(G(x,y)r) = G(x,0) = (x,0)
Repare que já em G^2 o resultado voltou a ser (x,0).

Passo 4

Agora G^3 é
G^3(x,y) = Gl(G^2(x,y)r) = G(x,0) = (x,0)
Isso mostra que G é idempotente a partir da segunda aplicação, isto é, G^n = G para todo n>=1.

Resposta

G^3(x,y) = (x,0), forall,(x,y)inR^2

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