Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A , e, C e D , respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G . Se \mathrm{EB}=5, \mathrm{BA}=7, \mathrm{EC}=4, \mathrm{GD} =3 e \mathrm{AG}=6, calcule o valor de GF .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Ponto externo E a uma circunferência.
  • A reta passando por E e que corta a circunferência nos pontos B e A (nessa ordem ao partir de E). Os comprimentos dados nessa reta são:
    • EB=5
    • BA=7
  • Outra reta passando por E que corta a circunferência nos pontos C e D (nessa ordem ao partir de E). O enunciado dá:
    • EC=4
    • GD=3 (onde G é um ponto sobre o segmento ED; mais abaixo fica claro onde)
  • A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Foi dado também:
    • AG=6
  • O que se pede: calcular o valor de GF.

Passo 2

Primeiro, interpretemos corretamente os comprimentos ao longo da reta que passa por E,B,A. Como B e A estão na circunferência e E é externo, o comprimento total de E até A é a soma de EB com BA. Ou seja:
EA = EB + BA.
Substituindo os números que foram dados:
EA = 5 + 7 = 12.

Passo 3

Agora usamos o teorema das secantes a partir de um ponto externo (às vezes chamado “potência de um ponto” para ponto externo). O enunciado nos dá duas secantes que partem de E e cortam a circunferência nos pares (B,A) e (C,D). O teorema diz o seguinte:
Se uma reta a partir de um ponto externo E corta a circunferência nos pontos P (mais próximo de E) e Q (mais distante), então o produto do segmento externo pelo total da secante é constante. Em símbolos, para as duas secantes temos
EB\cdot EA = EC\cdot ED,
onde cada produto é “segmento externo” vezes “segmento total” daquela secante. Aqui já calculámos EA no passo anterior.
Substituindo os valores conhecidos:
5\cdot 12 = 4\cdot ED.
Calcule 5\cdot 12:
60 = 4\cdot ED.
Isolando ED:
ED = \frac{60}{4} = 15.

Passo 4

Agora vamos relacionar ED com os comprimentos próximos de G. Na reta que passa por E,C,G,D a ordem é E C G D porque G está dentro da circunferência (é a interseção de uma corda com a secante). O comprimento total ED é a soma de EC com CD, e CD é a soma de CG com GD. Portanto:
ED = EC + CD = EC + (CG + GD).
Isolando CG (que escrevo como GC para manter o mesmo sentido usado antes):
GC = ED - EC - GD.
Substituindo os valores conhecidos ED=15, EC=4, GD=3:
GC = 15 - 4 - 3 = 8.

Passo 5

Agora usamos o teorema das cordas que se cruzam dentro da circunferência (também é uma consequência da potência de um ponto, mas vale a pena lembrar a fórmula com clareza). Se duas cordas se intersectam no ponto interior G, então o produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda. No nosso caso as duas cordas que se cruzam em G são AF (partes AG e GF) e CD (partes CG e GD). A relação é:
AG\cdot GF = GC\cdot GD.
Explicando as variáveis:
  • AG é o segmento de A até G (dado AG=6),
  • GF é o segmento pedido,
  • GC e GD são os segmentos em que G divide CD (calculámos GC=8 e foi dado GD=3).
Substituindo os valores conhecidos na igualdade:
6\cdot GF = 8\cdot 3.
Não simplificarei para a resposta final aqui (a regra do exercício pede que a resposta final fique só na seção “

Resposta

4

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