Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A , e, C e D , respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G . Se
e
, calcule o valor de GF .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Ponto externo
a uma circunferência. - A reta passando por
e que corta a circunferência nos pontos e (nessa ordem ao partir de ). Os comprimentos dados nessa reta são: -
- Outra reta passando por
que corta a circunferência nos pontos e (nessa ordem ao partir de ). O enunciado dá: -
-
(onde é um ponto sobre o segmento ; mais abaixo fica claro onde)
-
- A corda
da circunferência intercepta o segmento no ponto . Foi dado também: -
- O que se pede: calcular o valor de
.
Passo 2
Primeiro, interpretemos corretamente os comprimentos ao longo da reta que passa por
. Como
e
estão na circunferência e
é externo, o comprimento total de
até
é a soma de
com
. Ou seja:
Substituindo os números que foram dados:
Passo 3
Agora usamos o teorema das secantes a partir de um ponto externo (às vezes chamado “potência de um ponto” para ponto externo). O enunciado nos dá duas secantes que partem de
e cortam a circunferência nos pares
e
. O teorema diz o seguinte:
Se uma reta a partir de um ponto externo
corta a circunferência nos pontos
(mais próximo de
) e
(mais distante), então o produto do segmento externo pelo total da secante é constante. Em símbolos, para as duas secantes temos
onde cada produto é “segmento externo” vezes “segmento total” daquela secante. Aqui já calculámos
no passo anterior.
Substituindo os valores conhecidos:
Calcule
:
Isolando
:
Passo 4
Agora vamos relacionar
com os comprimentos próximos de
. Na reta que passa por
a ordem é
—
—
—
porque
está dentro da circunferência (é a interseção de uma corda com a secante). O comprimento total
é a soma de
com
, e
é a soma de
com
. Portanto:
Isolando
(que escrevo como
para manter o mesmo sentido usado antes):
Substituindo os valores conhecidos
,
,
:
Passo 5
Agora usamos o teorema das cordas que se cruzam dentro da circunferência (também é uma consequência da potência de um ponto, mas vale a pena lembrar a fórmula com clareza). Se duas cordas se intersectam no ponto interior
, então o produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda. No nosso caso as duas cordas que se cruzam em
são
(partes
e
) e
(partes
e
). A relação é:
Explicando as variáveis:
-
é o segmento de até (dado ), -
é o segmento pedido, -
e são os segmentos em que divide (calculámos e foi dado ).
Substituindo os valores conhecidos na igualdade:
Não simplificarei para a resposta final aqui (a regra do exercício pede que a resposta final fique só na seção “
Resposta
4