4. Transformações Lineares e Estatísticas Descritivas

Uma equipe de pesquisadores analisou os tempos (em minutos) que um robô de inspeção leva para completar uma série de tarefas em uma linha de produção. Os tempos originais seguem a distribuição abaixo (valores hipotéticos):
\{12,15,18,21,24\}
a) Calcule a média, a mediana e a variância da amostra original.
b) Suponha que, por uma atualização de firmware, todos os tempos passaram a ser registrados com um atraso fixo de 3 minutos. Construa a nova amostra e calcule novamente a média, a mediana e a variância. O que mudou e o que permaneceu igual?
c) Após corrigido o erro de registro, os engenheiros decidem converter os tempos de minutos para segundos (multiplicando por 60). Calcule a média, a mediana e a variância da nova amostra e interprete matematicamente as mudanças.
d) Baseando-se nos resultados anteriores, formule e justifique uma regra geral sobre como adições e multiplicações por constantes afetam a média, a mediana e a variância de uma amostra.

Passo 1

O enunciado fornece a amostra de tempos (em minutos)
\{12,15,18,21,24\}.
As perguntas são:
  • (a) Calcular a média, a mediana e a variância da amostra original.
  • (b) Se adicionarmos um atraso fixo de 3 minutos a cada observação, construir a nova amostra e calcular novamente média, mediana e variância; dizer o que mudou e o que permaneceu igual.
  • (c) Após corrigir o erro, converter os tempos de minutos para segundos (multiplicando por 60) e calcular média, mediana e variância; interpretar as mudanças.
  • (d) Formular e justificar uma regra geral sobre como adições e multiplicações por constantes afetam média, mediana e variância.
Informações relevantes que vou usar (pego dos dados acima):
  • Tamanho da amostra: n=5.
  • Valores listados explicitamente: x_1=12,\\ x_2=15,\\ x_3=18,\\ x_4=21,\\ x_5=24.
Observação sobre variância: existem duas definições comuns que aparecem em provas:
  • Variância “da população” (ou simplesmente variância do conjunto de dados): \displaystyle \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2.
  • Variância amostral (estimador não viesado): \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2.
    Vou calcular ambas para ficar completo e didático, e indicar claramente qual é qual.

Passo 2

(a) Calcular média e mediana da amostra original; ensinar as fórmulas.
Média aritmética (definição e interpretação)
  • Fórmula: \displaystyle \bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • Aqui n é o número de observações e x_i são os valores da amostra. A média é o “centro de massa” aritmético dos dados.
Cálculo da média:
\bar x=\frac{12+15+18+21+24}{5}=\frac{90}{5}=18.
Interpretação: o tempo médio é 18 minutos.
Mediana (definição e como encontrar)
  • Definição: mediana é o valor central dos dados ordenados. Se n for ímpar, é o elemento na posição (n+1)/2. Se n for par, é a média dos dois valores centrais.
  • Aqui a amostra já está ordenada e n=5 (ímpar), então a mediana é o 3.º valor.
Cálculo da mediana:
\text{mediana}=18.
Interpretação: o valor central também é 18 minutos.
Variância (explicação das fórmulas)
  • Soma dos quadrados dos desvios em relação à média: \displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2. Isso quantifica quanto os dados “espalham” em torno da média.
  • Cálculo dos desvios e seus quadrados: x_i-\bar x:\quad 12-18=-6,\\\ 15-18=-3,\\\ 18-18=0,\\\ 21-18=3,\\\ 24-18=6.
(x_i-\bar x)^2:\quad 36,\\\ 9,\\\ 0,\\\ 9,\\\ 36.
Soma:
\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar x)^2=36+9+0+9+36=90.
Agora as duas variâncias:
  • Variância da população (denominador n): \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2=\frac{90}{5}=18.
  • Variância amostral (denominador n-1): s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2=\frac{90}{4}=22,5.
Resumo do que foi calculado no original:
  • Média: \bar x=18.
  • Mediana: 18.
  • Variância (população): \sigma^2=18.
  • Variância (amostral): s^2=22,5.

Passo 3

(b) Adição de uma constante c=3 a cada observação: construir nova amostra e calcular medidas.
Construção da nova amostra (peguei os dados originais e somei 3 a cada):
\{12+3,\,15+3,\,18+3,\,21+3,\,24+3\}=\{15,18,21,24,27\}.
Efeito na média (explicação geral)
  • Se y_i=x_i+c, então \displaystyle \bar y=\frac{1}{n}\sum y_i=\frac{1}{n}\sum (x_i+c)=\bar x + c.
    Cálculo:
\bar y=18+3=21.
Ou diretamente: \bar y=\dfrac{15+18+21+24+27}{5}=\dfrac{105}{5}=21.
Efeito na mediana
  • Adicionar c a cada valor desloca todos igualmente, portanto a mediana também soma c.
    Cálculo:
\text{mediana}(\text{nova})=18+3=21.
Efeito na variância (explicação)
  • A variância usa diferenças y_i-\bar y=(x_i+c)-(\bar x + c)=x_i-\bar x. Ou seja, os desvios não mudam quando se soma uma constante.
  • Portanto, tanto \sigma^2 quanto s^2 permanecem iguais.
Cálculo usando os desvios já feitos (os desvios permanecem -6,-3,0,3,6 em relação à nova média), soma dos quadrados continua 90, então:
\sigma^2_{\text{nova}}=\frac{90}{5}=18,\qquad s^2_{\text{nova}}=\frac{90}{4}=22,5.
Conclusão do item (b):
  • Média aumentou de 18 para 21 (acréscimo de 3).
  • Mediana aumentou de 18 para 21.
  • Variância (tanto população quanto amostral) permaneceu igual: \sigma^2=18, s^2=22,5.

Passo 4

(c) Converter tempos de minutos para segundos multiplicando por 60. Interpretar mudanças.
Decisão de qual amostra usar: o enunciado diz “após corrigido o erro de registro”, então aplicamos a multiplicação à amostra correta (original sem o atraso). Peguei a amostra original \{12,15,18,21,24\} e multipliquei por 60:
\{12\cdot60,\,15\cdot60,\,18\cdot60,\,21\cdot60,\,24\cdot60\}=\{720,900,1080,1260,1440\}.
Efeito na média (explicação geral)
  • Se y_i=a x_i com a constante, então \displaystyle \bar y=\frac{1}{n}\sum y_i=\frac{1}{n}\sum a x_i=a\bar x.
    Cálculo:
\bar y=60\cdot 18=1080.
Verificação direta: \dfrac{720+900+1080+1260+1440}{5}=\dfrac{5400}{5}=1080.
Efeito na mediana
  • Multiplicar todos os valores por a>0 multiplica a mediana por a. Aqui a=60>0, logo
\text{mediana}=60\cdot 18=1080.
Efeito na variância (explicação)
  • Para a variância, cada desvio se multiplica por a: y_i-\bar y=a(x_i-\bar x).
  • Então os quadrados dos desvios se multiplicam por a^2. Portanto: \sum (y_i-\bar y)^2 = a^2 \sum (x_i-\bar x)^2.
  • Consequentemente, tanto \sigma^2 quanto s^2 são multiplicadas por a^2.
Cálculo numérico: já tínhamos \sum (x_i-\bar x)^2=90. Então
\sum (y_i-\bar y)^2=60^2\cdot 90=3600\cdot 90=324000.
Portanto
\sigma^2_{\text{segundos}}=\frac{324000}{5}=64800, \qquad s^2_{\text{segundos}}=\frac{324000}{4}=81000.
Interpretação: converter de minutos para segundos multiplicou média e mediana por 60 e multiplicou a variância por 60^2=3600.

Passo 5

(d) Regra geral e justificativa matemática (resumo didático e exemplos simples)
Regra geral (enunciada):
  • Se cada observação é transformada por adição de uma constante c: y_i=x_i+c, então
    \bar y=\bar x + c,\qquad \text{mediana}(y)=\text{mediana}(x)+c,
    e
    \sigma^2_y=\sigma^2_x,\qquad s^2_y=s^2_x.
    Ou seja: média e mediana deslocam-se pela mesma constante; variância permanece inalterada.
  • Se cada observação é transformada por multiplicação por uma constante a: y_i=a x_i, então
    \bar y=a\bar x,\qquad \text{mediana}(y)=a\cdot \text{mediana}(x)\\ \text{(se \(a>0\) mantém ordem)},é
    e
    \sigma^2_y=a^2\sigma^2_x,\qquad s^2_y=a^2 s^2_x.
    Ou seja: média e mediana são multiplicadas por a; variância é multiplicada por a^2.
Justificativa matemática curta (porque é útil decorar e entender):
  • Para adição: \bar y=\frac{1}{n}\sum(x_i+c)=\bar x + c. Como y_i-\bar y=(x_i-\bar x), os desvios não mudam, logo as somas dos quadrados dos desvios e as variâncias não mudam.
  • Para multiplicação: \bar y=\frac{1}{n}\sum a x_i=a\bar x. E y_i-\bar y=a(x_i-\bar x) que ao quadrado dá a^2(x_i-\bar x)^2, logo a soma dos quadrados é multiplicada por a^2 e a variância também.
Observações extras úteis para prova:
  • Se a for negativo, a média e a mediana são multiplicadas por a (o sinal inverte), e a variância ainda é multiplicada por a^2 (positivo). Com a<0 a ordem dos dados se inverte; mediana é a vezes a mediana original, mas é bom ter atenção ao interpretar ordenação.
  • Essas regras valem tanto para variância com denominador n quanto para a amostral com denominador n-1, porque o fator a^2 sai fora da soma antes de dividir por n ou n-1.
Pequeno reforço com exemplos simples (além do problema):
  • Se uma amostra tiver média \bar x=10 e variância \sigma^2=4, e somar-se 2 a cada número, a nova média será 12 e a variância continuará 4.
  • Se multiplicar por 3, a média vira 30 e a variância vira 4\cdot 9=36.
Força aí — essas propriedades são muito poderosas e frequentes em provas: memorizando as regras e entendendo a derivação acima fica fácil aplicar rápido.

Resposta

(a) Média \bar x=18; Mediana =18; Variância (população) \sigma^2=18; Variância (amostral) s^2=22,5
(b) Nova amostra \{15,18,21,24,27\}. Média =21; Mediana =21; Variância (população) \sigma^2=18; Variância (amostral) s^2=22,5
(c) Em segundos: \{720,900,1080,1260,1440\}. Média =1080; Mediana =1080; Variância (população) \sigma^2=64800; Variância (amostral) s^2=81000
(d) Regra geral: adicionar constante c desloca média e mediana em +c e não altera a variância; multiplicar por constante a multiplica média e mediana por a (para a>0 preserva ordem) e multiplica a variância por a^2.

Exercícios relacionados