As transformações lineares são adotadas, por exemplo, para solucionar questões de natureza administrativa, de produtividade, de resistência de materiais, etc. A respeito desse conceito, analise as seguintes afirmações, considerando V e U espaços vetoriais: I – Em uma transformação linear se conservam as duas operações básicas de um espaço vetorial, ou seja, adição de vetores e multiplicação por escalar. II – A transformação T: ℝ² → ℝ², dada por T(x, y) = (x + 2, 2x + y) é linear. III – Toda transformação linear leva o vetor nulo de V no vetor nulo de U. Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. Apenas as afirmações II e III estão corretas.
b. Apenas a afirmação I está correta.
c. Todas as afirmações estão corretas.
d. Apenas as afirmações I e II estão corretas.
e. Apenas as afirmações I e III estão corretas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre transformações lineares, que são ferramentas super úteis em várias áreas como administração, produtividade e resistência de materiais. O que a gente precisa aqui é entender o que são transformações lineares e verificar se as afirmações dadas estão corretas com base nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação $ T $ entre dois espaços vetoriais $ V $ e $ U $ é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição de vetores: T
  2. Multiplicação por escalar: V
Essas propriedades garantem que a estrutura do espaço vetorial é preservada pela transformação.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação I:
Em uma transformação linear se conservam as duas operações básicas de um espaço vetorial, ou seja, adição de vetores e multiplicação por escalar.
Como vimos, isso é exatamente a definição de transformação linear. Portanto, a afirmação I está correta.

Passo 4

Vamos para a afirmação II:
A transformação $ T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $, dada por $ T(x, y) = (x + 2, 2x + y) $ é linear.
Para verificar se $ T $ é linear, precisamos ver se ela preserva adição e multiplicação por escalar.
Primeiro, vamos verificar a adição:
T: R^2 R^2
Comparando com $ T(x_1, y_1) + T(x_2, y_2) = (x_1 + 2, 2x_1 + y_1) + (x_2 + 2, 2x_2 + y_2) = (x_1 + x_2 + 4, 2x_1 + 2x_2 + y_1 + y_2) $, vemos que não são iguais por causa do “+2” vs “+4”. Isso já mostra que $ T $ não preserva a adição, então a transformação não é linear.
Portanto, a afirmação II está errada.

Passo 5

Agora, vamos examinar a afirmação III:
Toda transformação linear leva o vetor nulo de $ V $ no vetor nulo de $ U $.
Isso é uma propriedade fundamental das transformações lineares. Se $ T $ é linear, então:
V
Isso porque:
U
Portanto, a afirmação III está correta.

Resposta

A alternativa correta é:
e. Apenas as afirmações I e III estão corretas.

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