Quais das transformações seguintes são lineares?
Sendo a base
de
, em que
e
e seja
o operador linear, tal que
e
. Encontre fórmula para a transformação linear
. Use essa fórmula para encontrar
.
Sendo a base
Passo 1
O enunciado define uma base
de
com
,
e diz que é linear, com
e
.
Precisamos achar uma fórmula geral para e então calcular
.
e diz que
Precisamos achar uma fórmula geral para
Passo 2
Para qualquer
escrevemos
para certos escalares
. Isso gera o sistema
Passo 3
Da segunda equação segue
Substituindo na primeira,
Passo 4
Pela linearidade de
,
Passo 5
Substituindo
e
e separando componentes, temos
primeiro componente
primeiro componente
segundo componente
Logo
Passo 6
Finalmente, para
,
Resposta
A transformação é
e