Quais das transformações seguintes são lineares?
Sendo a base \mathbb{U}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\} de \mathbb{R}^{2}, em que \vec{u}_{1}=(1,2) e \vec{u}_{2}=(3,0) e seja T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear, tal que T\left(\vec{u}_{1}\right)=(8,1) e T\left(\vec{u}_{2}\right)=(6,9). Encontre fórmula para a transformação linear T(x, y). Use essa fórmula para encontrar T(2,5).

Passo 1

O enunciado define uma base \mathbb{U}=\{\vec u_{1},\vec u_{2}\} de \mathbb{R}^2 com \vec u_{1}=(1,2), \vec u_{2}=(3,0)
e diz que T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear, com T(\vec u_{1})=(8,1) e T(\vec u_{2})=(6,9).
Precisamos achar uma fórmula geral para T(x,y) e então calcular T(2,5).

Passo 2

Para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 escrevemos
(x,y)=a\,\vec u_{1}+b\,\vec u_{2}
para certos escalares a,b. Isso gera o sistema
a+3b = x
2a = y.

Passo 3

Da segunda equação segue
a = \frac{y}{2}.
Substituindo na primeira,
\frac{y}{2} + 3b = x \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{x - \tfrac{y}{2}}{3}.

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(x,y) = T\bigl(a\,\vec u_{1}+b\,\vec u_{2}\bigr) = a\,T(\vec u_{1}) + b\,T(\vec u_{2}) = a\,(8,1) + b\,(6,9).

Passo 5

Substituindo a e b e separando componentes, temos
primeiro componente
T_1(x,y) =8a + 6b =8\cdot\frac{y}{2} + 6\cdot\frac{x - \tfrac{y}{2}}{3} =4y + 2\bigl(x - \tfrac{y}{2}\bigr) =2x + 3y,
segundo componente
T_2(x,y) =a + 9b =\frac{y}{2} + 9\cdot\frac{x - \tfrac{y}{2}}{3} =\frac{y}{2} + 3\bigl(x - \tfrac{y}{2}\bigr) =3x - y.
Logo
T(x,y) = \bigl(2x+3y,\;3x - y\bigr).

Passo 6

Finalmente, para (x,y)=(2,5),
T(2,5) = \bigl(2\cdot 2 + 3\cdot 5,\;3\cdot 2 - 5\bigr) = (4 + 15,\;6 - 5) = (19,\,1).

Resposta

A transformação é
T(x,y) = \bigl(2x+3y,\;3x - y\bigr)
e
T(2,5) = (19,\,1).

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