Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}-\mathrm{y}, 3 \mathrm{x}+5 \mathrm{y})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad f(x,y) = (\,2x - y,\;3x + 5y\,)
é linear. Para isso, precisamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para quaisquer vetores (x_1,y_1), (x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e qualquer escalar c:
  1. Aditividade: f(u+v) = f(u) + f(v).
  2. Homogeneidade: f(c\,u) = c\,f(u).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
u = (x_1,y_1),\quad v = (x_2,y_2).
Então
u+v = (x_1 + x_2,\;y_1 + y_2),
e
f(u+v) = \bigl(2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2),\;3(x_1 + x_2) + 5(y_1 + y_2)\bigr).
Distribuindo termos, obtemos
f(u+v) = \bigl(2x_1 - y_1,\;3x_1 + 5y_1\bigr) + \bigl(2x_2 - y_2,\;3x_2 + 5y_2\bigr) = f(u) + f(v).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R}. Então
c\,u = (c\,x_1,\;c\,y_1),
e
f(c\,u) = \bigl(2(c\,x_1) - (c\,y_1),\;3(c\,x_1) + 5(c\,y_1)\bigr) = c\bigl(2x_1 - y_1,\;3x_1 + 5y_1\bigr) = c\,f(u).

Resposta

A transformação f(x,y)=(2x - y,\;3x + 5y) satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

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