Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}-\mathrm{y},-\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad f(x,y,z) = (\,x+y,\;x-y,\;-x\,)
é linear.
Conteúdo: definição de transformação linear, ou seja, deve satisfazer
  1. f(u+v)=f(u)+f(v) para todos u,v\in\mathbb{R}^3;
  2. f(\alpha u)=\alpha\,f(u) para todo \alpha\in\mathbb{R} e u\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

Verificamos primeiro que f envia o vetor zero em zero, o que é consequência da definição linear:
f(0,0,0) = (0+0,\;0-0,\;-0) = (0,0,0).
Isso confirma f(0)=0.

Passo 3

Checamos a aditividade. Sejam
u=(x_1,y_1,z_1),\quad v=(x_2,y_2,z_2).
Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
e
f(u+v) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;-(x_1+x_2)\bigr).
Agrupando,
f(u+v) = \bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;-x_1 - x_2\bigr) = f(u) + f(v).

Passo 4

Checamos a homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z),
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z),
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f(\alpha u) = (\alpha x + \alpha y,\;\alpha x - \alpha y,\;-\alpha x) = \alpha\,(x+y,\;x-y,\;-x) = \alpha\,f(u).

Resposta

A transformação f(x,y,z)=(x+y,\;x-y,\;-x) é linear.

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