(Transformada inversa) Prove que \mathscr{L}^{-1} é linear. Sugestão: utilize o fato de \mathscr{L} ser linear.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que o operador \mathscr{L}^{-1} (a transformada de Laplace inversa) é linear; isto é, mostrar que, para quaisquer escalares a,b e quaisquer funções F,G no domínio de \mathscr{L}^{-1}, vale
\mathscr{L}^{-1}\{aF+bG\}=a\,\mathscr{L}^{-1}\{F\}+b\,\mathscr{L}^{-1}\{G\}.
Informações que temos (dados do enunciado / hipóteses que usaremos): \mathscr{L} é linear. Também usamos implicitamente que \mathscr{L}^{-1} está definida no conjunto de funções que são imagens de \mathscr{L} (isto é, no alcance ou imagem de \mathscr{L}), e que nessa imagem a inversa é bem-definida (ou seja, \mathscr{L} é injetora na classe de funções considerada, de modo que a inversa existe e é única para cada elemento do alcance).

Passo 2

O que significa “linearidade” de um operador? Vou explicar com calma. Um operador T (que envia funções em funções) é linear se, para quaisquer escalares a,b e quaisquer funções u,v no domínio de T, tivermos
T(au+bv)=a\,T(u)+b\,T(v).
Aqui: a e b são números (podem ser reais ou complexos) e u,v são funções. A ideia é que o operador “distribui” sobre combinações lineares. É essa propriedade que queremos provar para \mathscr{L}^{-1}.

Passo 3

Recordando a propriedade dada: a transformada de Laplace \mathscr{L} é linear. Em notação, para quaisquer escalares a,b e quaisquer funções f,g no domínio de \mathscr{L},
\mathscr{L}\{af+bg\}=a\,\mathscr{L}\{f\}+b\,\mathscr{L}\{g\}.
Também usamos a propriedade da inversa de uma função/operador: se H está no alcance de \mathscr{L} e h=\mathscr{L}^{-1}\{H\}, então \mathscr{L}\{h\}=H e \mathscr{L}^{-1}\{\mathscr{L}\{h\}\}=h. Essa última igualdade é a definição da inversa à direita/esquerda sobre o alcance.

Passo 4

Agora o passo chave — o cálculo direto usando as duas propriedades acima. Tome F e G no domínio de \mathscr{L}^{-1}. Por definição disso, existem funções f e g tais que
F=\mathscr{L}\{f\},\qquad G=\mathscr{L}\{g\}.
Se a,b são escalares, então começamos por formar a combinação linear aF+bG. Substituindo F e G pelas suas representações, obtemos
aF+bG = a\,\mathscr{L}\{f\}+b\,\mathscr{L}\{g\}.

Passo 5

Aplicamos \mathscr{L}^{-1} ao lado esquerdo e direito da igualdade do passo anterior. Usando a linearidade de \mathscr{L} no sentido inverso (mais precisamente, usando que a\,\mathscr{L}\{f\}+b\,\mathscr{L}\{g\}=\mathscr{L}\{af+bg\}), temos
\mathscr{L}^{-1}\{aF+bG\} =\mathscr{L}^{-1}\{a\,\mathscr{L}\{f\}+b\,\mathscr{L}\{g\}\} =\mathscr{L}^{-1}\{\mathscr{L}\{af+bg\}\}.
Agora usamos a propriedade da inversa na imagem: \mathscr{L}^{-1}\{\mathscr{L}\{h\}\}=h para qualquer h no domínio de \mathscr{L}. Aplicando com h=af+bg obtemos
\mathscr{L}^{-1}\{\mathscr{L}\{af+bg\}\}=af+bg.

Passo 6

Concluímos juntando as igualdades:
\mathscr{L}^{-1}\{aF+bG\}=af+bg.
Mas como f=\mathscr{L}^{-1}\{F\} e g=\mathscr{L}^{-1}\{G\}, isso é exatamente
\mathscr{L}^{-1}\{aF+bG\}=a\,\mathscr{L}^{-1}\{F\}+b\,\mathscr{L}^{-1}\{G\},
que é a definição de linearidade para \mathscr{L}^{-1}. Portanto \mathscr{L}^{-1} é linear na sua região de definição (ou seja, sobre o conjunto de transformadas de Laplace).

Passo 7

Observação prática (útil na prova): não precisa reinventar a roda — use a linearidade de \mathscr{L} e o fato de que \mathscr{L}^{-1} é a inversa de \mathscr{L} no alcance. A única hipótese técnica a checar é que estamos trabalhando na classe de funções onde \mathscr{L} é injetora (funções de ordem exponencial suficiente, por exemplo), para que a inversa seja bem-definida e única. Fora isso, o argumento acima é curto e direto.

Resposta

\mathscr{L}^{-1}\{aF+bG\}=a\,\mathscr{L}^{-1}\{F\}+b\,\mathscr{L}^{-1}\{G\}.

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