(Transformada inversa) Prove que
é linear. Sugestão: utilize o fato de
ser linear.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que o operador
(a transformada de Laplace inversa) é linear; isto é, mostrar que, para quaisquer escalares
e quaisquer funções
no domínio de
, vale
Informações que temos (dados do enunciado / hipóteses que usaremos):
é linear. Também usamos implicitamente que
está definida no conjunto de funções que são imagens de
(isto é, no alcance ou imagem de
), e que nessa imagem a inversa é bem-definida (ou seja,
é injetora na classe de funções considerada, de modo que a inversa existe e é única para cada elemento do alcance).
Passo 2
O que significa “linearidade” de um operador? Vou explicar com calma. Um operador
(que envia funções em funções) é linear se, para quaisquer escalares
e quaisquer funções
no domínio de
, tivermos
Aqui:
e
são números (podem ser reais ou complexos) e
são funções. A ideia é que o operador “distribui” sobre combinações lineares. É essa propriedade que queremos provar para
.
Passo 3
Recordando a propriedade dada: a transformada de Laplace
é linear. Em notação, para quaisquer escalares
e quaisquer funções
no domínio de
,
Também usamos a propriedade da inversa de uma função/operador: se
está no alcance de
e
, então
e
. Essa última igualdade é a definição da inversa à direita/esquerda sobre o alcance.
Passo 4
Agora o passo chave — o cálculo direto usando as duas propriedades acima. Tome
e
no domínio de
. Por definição disso, existem funções
e
tais que
Se
são escalares, então começamos por formar a combinação linear
. Substituindo
e
pelas suas representações, obtemos
Passo 5
Aplicamos
ao lado esquerdo e direito da igualdade do passo anterior. Usando a linearidade de
no sentido inverso (mais precisamente, usando que
), temos
Agora usamos a propriedade da inversa na imagem:
para qualquer
no domínio de
. Aplicando com
obtemos
Passo 6
Concluímos juntando as igualdades:
Mas como
e
, isso é exatamente
que é a definição de linearidade para
. Portanto
é linear na sua região de definição (ou seja, sobre o conjunto de transformadas de Laplace).
Passo 7
Observação prática (útil na prova): não precisa reinventar a roda — use a linearidade de
e o fato de que
é a inversa de
no alcance. A única hipótese técnica a checar é que estamos trabalhando na classe de funções onde
é injetora (funções de ordem exponencial suficiente, por exemplo), para que a inversa seja bem-definida e única. Fora isso, o argumento acima é curto e direto.