Represente em série de potências a integral (6) e determine o raio
de convergência.
Note que $\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}
Passo 1
O enunciado pede para representar em série de potências a integral
e determinar o raio de convergência
dessa representação.
Dados fornecidos: a série de Taylor-Maclaurin de é
Dados fornecidos: a série de Taylor-Maclaurin de
Não há mais informações no enunciado. A integração deve resultar numa série em potências de
(centro em
) e devemos achar o raio
dessa série.
Passo 2
Substituímos
por
na série dada para obter a série de
. A substituição é válida dentro do raio de convergência da série original (aqui a série de
converge para todo
, depois veremos o raio). Fazendo a substituição:
Portanto
já está escrita como série de potências (apenas aparecem os termos de ordem
).
Passo 3
Agora vamos integrar termo a termo. Teorema útil: uma série de potências converge uniformemente em todo intervalo fechado contido no disco de convergência, o que permite integrar e diferenciar termo a termo dentro do raio de convergência. Assim podemos integrar cada termo
separadamente. A integral de
é
Multiplicando pelo coeficiente e somando para todos
, obtemos a série da integral.
Passo 4
Integrando termo a termo obtemos:
Podemos escrever de forma compacta:
Passo 5
Para entender o raio de convergência
: a série de
tem raio de convergência infinito (ela converge para todo
). Substituir
por
não reduz o raio (uma composição com polinômio preserva o raio infinito), e integrar termo a termo também não altera o raio de convergência (integração term a term mantém o mesmo raio). Portanto o raio de convergência da série obtida é infinito:
Se quisermos uma verificação via teste da razão, podemos olhar nos coeficientes não nulos
(aparecem só para
), e usar crescimento de fatoriais para concluir que o raio é infinito; isto confirma a conclusão acima.
Passo 6
Para fixar a ideia, vejamos os primeiros termos explícitos (tirando a constante
):
- Para
: - Para
: - Para
:
Assim a série começa
o que bate com a fórmula geral encontrada.