Represente em série de potências a integral (6) e determine o raio R de convergência.
\int \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x
Note que $\cos (x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para representar em série de potências a integral
\int \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x
e determinar o raio de convergência R dessa representação.
Dados fornecidos: a série de Taylor-Maclaurin de \cos(x) é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{2n}.
Não há mais informações no enunciado. A integração deve resultar numa série em potências de x (centro em 0) e devemos achar o raio R dessa série.

Passo 2

Substituímos x por x^{2} na série dada para obter a série de \cos\bigl(x^{2}\bigr). A substituição é válida dentro do raio de convergência da série original (aqui a série de \cos converge para todo x, depois veremos o raio). Fazendo a substituição:
\cos\bigl(x^{2}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,\bigl(x^{2}\bigr)^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{4n}.
Portanto \cos(x^{2}) já está escrita como série de potências (apenas aparecem os termos de ordem 4n).

Passo 3

Agora vamos integrar termo a termo. Teorema útil: uma série de potências converge uniformemente em todo intervalo fechado contido no disco de convergência, o que permite integrar e diferenciar termo a termo dentro do raio de convergência. Assim podemos integrar cada termo \dfrac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{4n} separadamente. A integral de x^{4n} é
\int x^{4n}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{4n+1}}{4n+1}+C.
Multiplicando pelo coeficiente e somando para todos n, obtemos a série da integral.

Passo 4

Integrando termo a termo obtemos:
\int \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,\frac{x^{4n+1}}{4n+1}+C.
Podemos escrever de forma compacta:
\int \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(4n+1)}\,x^{4n+1}+C.

Passo 5

Para entender o raio de convergência R: a série de \cos(x) tem raio de convergência infinito (ela converge para todo x). Substituir x por x^{2} não reduz o raio (uma composição com polinômio preserva o raio infinito), e integrar termo a termo também não altera o raio de convergência (integração term a term mantém o mesmo raio). Portanto o raio de convergência da série obtida é infinito:
R=\infty.
Se quisermos uma verificação via teste da razão, podemos olhar nos coeficientes não nulos c_{n} (aparecem só para n=4k+1), e usar crescimento de fatoriais para concluir que o raio é infinito; isto confirma a conclusão acima.

Passo 6

Para fixar a ideia, vejamos os primeiros termos explícitos (tirando a constante C):
  • Para n=0: \dfrac{(-1)^{0}}{(0)!\,(1)}x^{1}=x.
  • Para n=1: \dfrac{(-1)^{1}}{2!\,5}x^{5}=-\dfrac{x^{5}}{10}.
  • Para n=2: \dfrac{(-1)^{2}}{4!\,9}x^{9}=\dfrac{x^{9}}{24\cdot 9}=\dfrac{x^{9}}{216}.
    Assim a série começa
x-\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{9}}{216}+\cdots + C,
o que bate com a fórmula geral encontrada.

Resposta

\int \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(4n+1)}\,x^{4n+1}+C
R=\infty

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