Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado.
51.
51.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que vamos usar:
O que precisamos determinar é o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Primeiro vamos juntar as parcelas numa única fração para ver a forma indeterminada:
Passo 3
Agora avaliamos o numerador e o denominador em
para identificar a forma indeterminada:
Portanto temos uma forma
, que é indeterminada. Nesses casos podemos usar a Regra de L’Hôpital: se
e
e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
, então
desde que o limite do quociente das derivadas exista. Aplicaremos essa regra.
Passo 4
Calculemos as derivadas do numerador e do denominador. Denotando
temos
Pelo L’Hôpital,
Passo 5
Avaliamo essa nova expressão em
:
ainda dá
. Aplicamos L’Hôpital de novo. Derivando numerador e denominador:
Pelo L’Hôpital novamente,
Passo 6
Agora basta substituir
na expressão simples:
Como verificação alternativa (rápida): usando a série de Taylor
, o numerador
e o denominador
, então a razão tende a
, que confirma o resultado.