Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado.
51. \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).
Informações dadas que vamos usar:
\text{Expressão}=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}.ã
O que precisamos determinar é o comportamento dessa expressão quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 2

Primeiro vamos juntar as parcelas numa única fração para ver a forma indeterminada:
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1} =\frac{e^{x}-1}{x(e^{x}-1)}-\frac{x}{x(e^{x}-1)} =\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}.

Passo 3

Agora avaliamos o numerador e o denominador em x=0 para identificar a forma indeterminada:
\text{numerador }=e^{x}-1-x\quad\Rightarrow\quad e^{0}-1-0=0,
\text{denominador }=x(e^{x}-1)\quad\Rightarrow\quad 0\cdot(e^{0}-1)=0.
Portanto temos uma forma 0/0, que é indeterminada. Nesses casos podemos usar a Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do quociente das derivadas exista. Aplicaremos essa regra.

Passo 4

Calculemos as derivadas do numerador e do denominador. Denotando
N(x)=e^{x}-1-x,\qquad D(x)=x(e^{x}-1),
temos
N'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1-x\big)=e^{x}-1,
D'(x)=\frac{d}{dx}\big(x(e^{x}-1)\big)=1\cdot(e^{x}-1)+x\cdot e^{x}=e^{x}-1+x e^{x}.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{e^{x}-1+x e^{x}}.

Passo 5

Avaliamo essa nova expressão em x=0:
\text{numerador }=e^{0}-1=0,\qquad \text{denominador }=e^{0}-1+0\cdot e^{0}=0,
ainda dá 0/0. Aplicamos L’Hôpital de novo. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1\big)=e^{x},
\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1+x e^{x}\big)=e^{x}+ \big(1\cdot e^{x}+x e^{x}\big)=2e^{x}+x e^{x}=e^{x}(2+x).
Pelo L’Hôpital novamente,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{e^{x}-1+x e^{x}} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}}{e^{x}(2+x)} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2+x}.

Passo 6

Agora basta substituir x=0 na expressão simples:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}.
Como verificação alternativa (rápida): usando a série de Taylor e^{x}=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots, o numerador e^{x}-1-x\approx \tfrac{x^{2}}{2} e o denominador x(e^{x}-1)\approx x\cdot x=x^{2}, então a razão tende a \tfrac{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}, que confirma o resultado.

Resposta

\frac{1}{2}

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