A transformada de Laplace inversa correta é:
L^-11-2 ss^2+4 s+5
Escolha uma opção:
a. 5 e^-5 t sen t-2 e^-5 t cos t
b. 5 e^-2 t sen t-2 e^-2 t cos t
c. e^-2 t sen t-e^-2 t cos t
d. 5 e^-4 t sen t-2 e^-2 t cos t
e. 2 e^-2 t sen t-2 e^-2 t cos t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
1 - 2ss^2 + 4s + 5
Ou seja, o conteúdo é usar o deslocamento no domínio de s (teorema do fator exponencial) e os pares padrões
Le^atcos(bt)=s-a(s-a)^2+b^2, Le^atsin(bt)=b(s-a)^2+b^2
Para isso vamos completar o quadrado no denominador e decompor o numerador em termos de (s+2).

Passo 2

Complete o quadrado no denominador:
s^2 + 4s + 5 = (s+2)^2 + 1

Passo 3

Reescreva o numerador em função de s+2. Seja u = s+2, então s = u - 2 e
1 - 2s = 1 - 2(u-2) = 1 - 2u + 4 = 5 - 2u = -2,u + 5

Passo 4

Faça a decomposição da fração:
1 - 2ss^2 + 4s + 5 = -2(s+2) + 5(s+2)^2 + 1 = -2,s+2(s+2)^2+1 ;+; 5,1(s+2)^2+1

Passo 5

Aplique a transformada inversa termo a termo, lembrando que aqui a=-2 e b=1:
L^-1s+2(s+2)^2+1 = e^-2tcos t, L^-11(s+2)^2+1 = e^-2tsin t
Logo,
L^-11 - 2ss^2+4s+5 = -2,e^-2tcos t + 5,e^-2tsin t = 5,e^-2tsin t ;-; 2,e^-2tcos t

Passo 6

Comparando com as alternativas, é a letra (b).

Resposta

b. 5,e^-2tsin t - 2,e^-2tcos t

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