Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
\mathcal{L}\left\{2 \cos (3 t)-e^{-t}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular a transformada de Laplace da função 2\cos(3t)-e^{-t}, ou seja, encontrar \mathcal{L}\{2\cos(3t)-e^{-t}\}.
  • Informação dada: a função no tempo é f(t)=2\cos(3t)-e^{-t}.
  • Observação útil: a transformada de Laplace é uma operação linear, então dá para separar em duas transformadas mais simples e combinar depois.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e propriedade de linearidade (explicação didática).
  • Definição: para uma função f(t) (definida para t\ge 0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral deve convergir para o valor existir.
  • Linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
Isso significa que podemos calcular as transformadas separadamente e somar (com os sinais/certos fatores).

Passo 3

Aplicando a linearidade ao problema.
Usando linearidade:
\mathcal{L}\{2\cos(3t)-e^{-t}\}=2\mathcal{L}\{\cos(3t)\}-\mathcal{L}\{e^{-t}\}.
Agora vamos achar \mathcal{L}\{\cos(3t)\} e \mathcal{L}\{e^{-t}\} separadamente.

Passo 4

Cálculo detalhado de \mathcal{L}\{\cos(3t)\} (passo-a-passo de integração).
Queremos
I=\mathcal{L}\{\cos(3t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(3t)\,dt.
Fazendo a integral por partes duas vezes (explicando cada etapa):
  1. Integração por partes: escolha u=\cos(3t) e dv=e^{-st}dt. Então du=-3\sin(3t)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st} (válido se \Re(s)>0 para que e^{-st} tenda a zero no infinito).
  2. Aplicando fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
I=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(3t)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\left(-3\sin(3t)\right)\,dt.
O termo de fronteira dá \;0-(-\frac{1}{s}\cdot 1\cdot \cos 0)=\frac{1}{s} (porque \cos 0=1 e o termo exponencial em infinito some se \Re(s)>0). O integral restante é -\dfrac{3}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(3t)\,dt. Assim
I=\frac{1}{s}-\frac{3}{s}J,
onde
J=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(3t)\,dt.
  1. Agora calcule J por partes: escolha u=\sin(3t), dv=e^{-st}dt. Então du=3\cos(3t)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando:
J=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\sin(3t)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\cdot 3\cos(3t)\,dt.
O termo de fronteira é zero (pois \sin 0=0 e o termo no infinito tende a zero). Assim
J=\frac{3}{s}I.
  1. Substituindo J em I=\dfrac{1}{s}-\dfrac{3}{s}J:
I=\frac{1}{s}-\frac{3}{s}\cdot\frac{3}{s}I=\frac{1}{s}-\frac{9}{s^{2}}I.
Isolando I:
I\Big(1+\frac{9}{s^{2}}\Big)=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad I=\frac{1}{s}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+9}=\frac{s}{s^{2}+9}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}=\frac{s}{s^{2}+9},\qquad (\text{válido para } \Re(s)>0).á

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{e^{-t}\} (explicação direta).
Use a integral direta:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt.
Essa integral vale, para \Re(s+1)>0 (isto é, \Re(s)>-1):
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt=\left[-\frac{1}{s+1}e^{-(s+1)t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+1}.
Também se pode usar a fórmula padrão \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} com a=-1, obtendo \dfrac{1}{s+1}.

Passo 6

Combinar as transformadas usando linearidade e informar a região de convergência.
Juntando:
\mathcal{L}\{2\cos(3t)-e^{-t}\}=2\cdot\frac{s}{s^{2}+9}-\frac{1}{s+1}.
Sobre a região de convergência: \mathcal{L}\{\cos(3t)\} exige \Re(s)>0; \mathcal{L}\{e^{-t}\} exige \Re(s)>-1. A interseção é \Re(s)>0. Logo a expressão é válida para \Re(s)>0.

Passo 7

(Extra opcional mas útil) Forma única como fração racional comum.
Se quiser juntar em um único quociente racional:
2\cdot\frac{s}{s^{2}+9}-\frac{1}{s+1}=\frac{2s(s+1)-(s^{2}+9)}{(s^{2}+9)(s+1)}=\frac{s^{2}+2s-9}{(s^{2}+9)(s+1)}.

Resposta

\displaystyle 2\cdot\frac{s}{s^{2}+9}-\frac{1}{s+1}

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