Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: calcular a transformada de Laplace da função
, ou seja, encontrar . - Informação dada: a função no tempo é
. - Observação útil: a transformada de Laplace é uma operação linear, então dá para separar em duas transformadas mais simples e combinar depois.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e propriedade de linearidade (explicação didática).
- Definição: para uma função
(definida para ), a transformada de Laplace é
onde
é uma variável complexa e a integral deve convergir para o valor existir.
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Isso significa que podemos calcular as transformadas separadamente e somar (com os sinais/certos fatores).
Passo 3
Aplicando a linearidade ao problema.
Usando linearidade:
Agora vamos achar
e
separadamente.
Passo 4
Cálculo detalhado de
(passo-a-passo de integração).
Queremos
Fazendo a integral por partes duas vezes (explicando cada etapa):
- Integração por partes: escolha
e . Então e (válido se para que tenda a zero no infinito). - Aplicando fórmula
:
O termo de fronteira dá
(porque
e o termo exponencial em infinito some se
). O integral restante é
. Assim
onde
- Agora calcule
por partes: escolha , . Então e . Aplicando:
O termo de fronteira é zero (pois
e o termo no infinito tende a zero). Assim
- Substituindo
em :
Isolando
:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
(explicação direta).
Use a integral direta:
Essa integral vale, para
(isto é,
):
Também se pode usar a fórmula padrão
com
, obtendo
.
Passo 6
Combinar as transformadas usando linearidade e informar a região de convergência.
Juntando:
Sobre a região de convergência:
exige
;
exige
. A interseção é
. Logo a expressão é válida para
.
Passo 7
(Extra opcional mas útil) Forma única como fração racional comum.
Se quiser juntar em um único quociente racional: