Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
b)
b)
Passo 1
Beleza, aqui o rolê é resolver uma EDO de segunda ordem com entrada causal e condições iniciais dadas.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes + transformada de Laplace.
Vamos precisar de:
• Saber como aplicar L{y′}, L{y″} com condições iniciais.
• Saber L{e^(–t)u(t)} e regras de frações parciais.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes + transformada de Laplace.
Vamos precisar de:
• Saber como aplicar L{y′}, L{y″} com condições iniciais.
• Saber L{e^(–t)u(t)} e regras de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a EDO e mandamos Laplace dos dois lados. Lembrando:
L{y″} = s²Y(s) – s·y(0⁻) – y′(0⁻)
L{y′} = sY(s) – y(0⁻)
L{e^(–t)u(t)} = 1/(s+1)
L{y″} = s²Y(s) – s·y(0⁻) – y′(0⁻)
L{y′} = sY(s) – y(0⁻)
L{e^(–t)u(t)} = 1/(s+1)
A equação é
e x(t)=e^(–t)u(t).
Passo 3
Aplicando Laplace:
LHS = L{y″}+5L{y′}+6L{y}
= [s²Y – s·(–1) –5] +5[sY – (–1)] +6Y
= (s²+5s+6)Y + s.
LHS = L{y″}+5L{y′}+6L{y}
= [s²Y – s·(–1) –5] +5[sY – (–1)] +6Y
= (s²+5s+6)Y + s.
RHS = –4L{x} –4L{x′}
= –4·(1/(s+1)) –4[s·(1/(s+1)) – 0]
= –(4s+4)/(s+1).
= –4·(1/(s+1)) –4[s·(1/(s+1)) – 0]
= –(4s+4)/(s+1).
Então
Passo 4
Isolando Y(s):
$$Y(s) = \frac{-(4s+4)/(s+1) - s}{s^2+5s+6}
= \frac{-(s2+5s+4)}{(s+1)(s2+5s+6)}.$$
Como
e
, dá
$$Y(s) = -\frac{(s+1)(s+4)}{(s+1)(s+2)(s+3)}
= -\frac{s+4}{(s+2)(s+3)}.$$
Passo 5
Agora frações parciais:
Resolvendo:
A+B = –1
3A+2B = –4
⇒ A = –2, B = 1.
A+B = –1
3A+2B = –4
⇒ A = –2, B = 1.
Então
Passo 6
Por fim, a inversa de Laplace é direta: