Determine as respostas dos sitemas descritos pelas seguintes equações diferenciais com a entrada e as condições iniciais especificadas:
b) ddoty+5 doty+6 y=-4 x-4 dotx, y(0^-)=-1, doty(0^-)=5, x(t)=e^-t u(t)

Passo 1

Beleza, aqui o rolê é resolver uma EDO de segunda ordem com entrada causal e condições iniciais dadas.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes + transformada de Laplace.
Vamos precisar de:
• Saber como aplicar L{y′}, L{y″} com condições iniciais.
• Saber L{e^(–t)u(t)} e regras de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO e mandamos Laplace dos dois lados. Lembrando:
L{y″} = s²Y(s) – s·y(0⁻) – y′(0⁻)
L{y′} = sY(s) – y(0⁻)
L{e^(–t)u(t)} = 1/(s+1)
A equação é
ddot y + 5dot y +6y = -4x -4dot x
e x(t)=e^(–t)u(t).

Passo 3

Aplicando Laplace:
LHS = L{y″}+5L{y′}+6L{y}
= [s²Y – s·(–1) –5] +5[sY – (–1)] +6Y
= (s²+5s+6)Y + s.
RHS = –4L{x} –4L{x′}
= –4·(1/(s+1)) –4[s·(1/(s+1)) – 0]
= –(4s+4)/(s+1).
Então
(s^2+5s+6)Y(s) + s = -4s+4s+1

Passo 4

Isolando Y(s):
$$Y(s) = \frac{-(4s+4)/(s+1) - s}{s^2+5s+6}
= \frac{-(s2+5s+4)}{(s+1)(s2+5s+6)}.$$
Como Y(s) = -(4s+4)/(s+1) - ss^2+5s+6 = -(s^2+5s+4)(s+1)(s^2+5s+6) e s^2+5s+6=(s+2)(s+3), dá
$$Y(s) = -\frac{(s+1)(s+4)}{(s+1)(s+2)(s+3)}
= -\frac{s+4}{(s+2)(s+3)}.$$

Passo 5

Agora frações parciais:
-s+4(s+2)(s+3) = As+2 + Bs+3
Resolvendo:
A+B = –1
3A+2B = –4
⇒ A = –2, B = 1.
Então
Y(s) = -2s+2 + 1s+3

Passo 6

Por fim, a inversa de Laplace é direta:
y(t) = -2,e^-2t + 1,e^-3t, t>= 0

Resposta

boxedy(t) = l(-2e^-2t + e^-3tr),u(t)

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