Um transformador elevador monofásico de \mathrm{N} \mathrm{kVA}, 230 / 2300 \mathrm{~V}, tem os seguintes parâmetros: r_{1}=0,1 \Omega, X_{L 1}=0,3 \Omega, r_{2}=0,001 \Omega e X_{L 2}=0,003 \Omega. Calcule p/ primário e secundário:
a) As correntes e impedâncias internas;
b) As tensões induzidas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei do enunciado):
    • Potência aparente nominal: S = N\\ \text{kVA} = 1000\,N\\ \text{VA}.
    • Tensões nominais: primário V_1 = 230\\ \text{V}, secundário V_2 = 2300\\ \text{V}.
    • Resistências e reatâncias de fuga (por enrolamento): r_1 = 0{,}1\\ \Omega, X_{L1} = 0{,}3\\ \Omega; r_2 = 0{,}001\\ \Omega, X_{L2} = 0{,}003\\ \Omega.
  • O enunciado pede (para primário e secundário):
    (a) as correntes e as impedâncias internas;
    (b) as tensões induzidas.
  • Observação importante (assunção usada):
    • Vou calcular as correntes como as correntes nominais (corrente de plena carga) obtidas de S/V.
    • As impedâncias internas são os impedâncias série de cada enrolamento: Z_1 = r_1 + jX_{L1} e Z_2 = r_2 + jX_{L2}.
    • Para as tensões induzidas vou usar o modelo série habitual (fórmulas gerais em termos de fasores). Como o enunciado não informa o fator de potência do carga, darei a expressão geral em função do ângulo de fase \varphi do corrente de carga e também apresentarei os resultados numéricos para o caso simples de fator de potência unitário (carga resistiva), que é o caso didático mais direto.

Passo 2

Cálculo das correntes nominais (plena carga).
  • Fórmula (ideia): a corrente nominal de um enrolamento é a potência aparente dividida pela tensão do enrolamento:
    I = \dfrac{S}{V}.
    Aqui S em volt-ampere ( \text{VA}) e V em volts; o resultado é em ampères.
  • Aplicando ao primário ( V_1=230\\ \text{V}):
    I_1 = \dfrac{1000\,N}{230} \\ \text{A} = \dfrac{1000}{230}\,N \\ \text{A} \approx 4{,}347826087\,N\\ \text{A}.
  • Aplicando ao secundário ( V_2=2300\\ \text{V}):
    I_2 = \dfrac{1000\,N}{2300} \\ \text{A} = \dfrac{1000}{2300}\,N\\ \text{A} \approx 0{,}434782609\,N\\ \text{A}.
  • Relação entre correntes (verificação rápida): \dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{V_2}{V_1}=10, ou seja I_1=10\,I_2, consistente com o transformador elevador 230→2300 V.

Passo 3

Cálculo das impedâncias internas (por enrolamento) e suas magnitudes/ângulos.
  • Definição: a impedância interna de cada enrolamento é
    Z_1 = r_1 + jX_{L1},\qquad Z_2 = r_2 + jX_{L2},
    onde r é a resistência (queda resistiva) e X_{L} a reatância de fuga (queda indutiva). j é a unidade imaginária.
  • Substituindo os valores:
    Z_1 = 0{,}1 + j\,0{,}3\\ \Omega, \qquad Z_2 = 0{,}001 + j\,0{,}003\\ \Omega.
  • Magnitudes e ângulos (úteis para somas fasoriais):
    |Z_1|=\sqrt{0{,}1^2+0{,}3^2}=\sqrt{0{,}1}=0{,}31622777\\ \Omega\approx0{,}31623\\ \Omega,
\angle Z_1=\arctan\!\left(\dfrac{0{,}3}{0{,}1}\right)=\arctan(3)\approx71{,}565^\circ.
|Z_2|=\sqrt{0{,}001^2+0{,}003^2}=\sqrt{0{,}00001}=0{,}003162277\\ \Omega\approx0{,}0031623\\ \Omega,
\angle Z_2=\arctan\!\left(\dfrac{0{,}003}{0{,}001}\right)=\arctan(3)\approx71{,}565^\circ.
  • Interpretação curta e amigável: ambos os enrolamentos têm a mesma razão X/r=3, portanto mesma fase de queda (aprox. 71{,}6^\circ), o que simplifica o entendimento das quedas de tensão: a queda é mais reativa do que resistiva.

Passo 4

Modelo fasorial e relação entre tensão terminal e tensão induzida (explicação didática).
  • No modelo de um enrolamento real, existe uma tensão induzida interna (fem) E e, em série com ela, a impedância de fuga Z. A tensão terminal V é a tensão que aparece nos terminais do enrolamento depois da queda em Z. A relação fasorial (convencional) é:
    V = E - I\,Z,
    onde I é a corrente do enrolamento (asa orientação de sinais: a queda I Z subtrai da fem interna se a fem está fornecendo tensão aos terminais). Reorganizando para obter a fem induzida:
    E = V + I\,Z.
    Eu vou usar essa última forma porque é direta para calcular a tensão induzida (a “fem” do enrolamento) a partir da tensão terminal e da corrente que circula.
  • Observação sobre fase: V, I e Z são fasores. Se a carga não for puramente resistiva, I terá um ângulo de fase \varphi em relação a V. Para manter geral, escrevemos
    I_1 = I_1\angle(-\varphi),\qquad I_2 = I_2\angle(-\varphi),
    se adotarmos V_1 e V_2 como referência com ângulo 0^\circ (carga com fator de potência fator de potência \cos\varphi, se for indutiva corrente atrasa).

Passo 5

Expressões gerais para as tensões induzidas (fasores) e desenvolvimento prático para o caso \cos\varphi=1 (carga puramente resistiva).
  • Fórmulas gerais (fasores):
    \boxed{E_1 = V_1 + I_1\,Z_1} \qquad\text{e}\qquad \boxed{E_2 = V_2 + I_2\,Z_2}.
    Aqui I_1 e I_2 são os fasores das correntes de plena carga (com o ângulo -\varphi se a corrente estiver atrasada em relação à tensão de referência).
  • Desenvolvendo em termos reais e imaginários (caso geral, escrevendo I_1 como I_1(\cos\varphi - j\sin\varphi) se V é referência em 0^\circ):
    E_1 = V_1 + I_1\,(r_1 + jX_{L1})\angle(-\varphi)
E_2 = V_2 + I_2\,(r_2 + jX_{L2})\angle(-\varphi).
Isto dá resultado complexo; a magnitude de E obtém-se por |E|=\sqrt{(\Re\{E\})^2+(\Im\{E\})^2}.
  • Caso prático didático: fator de potência unitário ( \varphi=0, corrente em fase com a tensão). Então I é real e positivo na referência de V, podemos somar retangularmente:
    • Para o primário: I_1=\dfrac{1000\,N}{230}\\ \text{A}\quad(\text{real}),
I_1 Z_1 = I_1(0{,}1 + j0{,}3) = I_1\cdot0{,}1 + j\,I_1\cdot0{,}3.
Substituindo \(I_1=\dfrac{1000}{230}N\):
\[I_1 Z_1 = \left(0{,}4347826087\,N\right) + j\left(1{,}304347826\,N\right)\\ \text{V}.\]
Assim
\[E_1 = 230 + \big(0{,}4347826087\,N\big) + j\big(1{,}304347826\,N\big)\]
E_1 = \big(230 + 0{,}4347826087\,N\big) + j\big(1{,}304347826\,N\big)\\ \text{V}.
Magnitude:
\[|E_1| = \sqrt{\big(230 + 0{,}4347826087\,N\big)^2 + \big(1{,}304347826\,N\big)^2}.\]
  • Para o secundário: I_2=\dfrac{1000\,N}{2300}\\ \text{A}\quad(\text{real}),
I_2 Z_2 = I_2(0{,}001 + j0{,}003) = I_2\cdot0{,}001 + j\,I_2\cdot0{,}003.
Substituindo \(I_2=\dfrac{1000}{2300}N\):
\[I_2 Z_2 = \left(0{,}0004347826087\,N\right) + j\left(0{,}001304347826\,N\right)\\ \text{V}.\]
Assim
\[E_2 = 2300 + 0{,}0004347826087\,N + j\big(0{,}001304347826\,N\big)\]
E_2 = \big(2300 + 0{,}0004347826087\,N\big) + j\big(0{,}001304347826\,N\big)\\ \text{V}.
Magnitude:
\[|E_2| = \sqrt{\big(2300 + 0{,}0004347826087\,N\big)^2 + \big(0{,}001304347826\,N\big)^2}.\]
  • Interpretação numérica rápida (intuição): as quedas de tensão no secundário são ínfimas (porque Z_2 é muito pequeno e I_2 também é pequeno), portanto E_2 praticamente vale 2300\\ \text{V} com um desvio microscópico. No primário a queda é maior, mas ainda pequena comparada a 230\\ \text{V} (depende do valor de N): por exemplo, para N=100 (100 kVA) a parte real acrescentada seria 0{,}43478\times100=43{,}478\\ \text{V} e a imag. 1{,}30435\times100=130{,}435\\ \text{V}, resultando em E_1 algo em torno de |E_1|\approx\sqrt{(273{,}478)^2+(130{,}435)^2}\approx304\\ \text{V} (apenas exemplo ilustrativo).

Passo 6

Resumo passo a passo prático (como aplicar na prova — check-list rápido):
  • Calcule I_1 e I_2 com I=S/V.
  • Escreva Z_1=r_1+jX_{L1} e Z_2=r_2+jX_{L2}. Calcule módulo/ângulo se for útil.
  • Use E=V+I\,Z para obter a tensão induzida (atenção aos fasores: considere o ângulo do corrente \varphi).
  • Se o enunciado não der fator de potência, mantenha \varphi simbólico ou use \varphi=0 para simplificar (carga resistiva).

Resposta

I_1=\dfrac{1000\,N}{230}\\ \mathrm{A}\approx 4{,}347826087\,N\\ \mathrm{A}
I_2=\dfrac{1000\,N}{2300}\\ \mathrm{A}\approx 0{,}434782609\,N\\ \mathrm{A}
Z_1=0{,}1 + j\,0{,}3\\ \Omega,\quad |Z_1|=0{,}31623\\ \Omega,\\ \angle Z_1\approx71{,}565^\circ
Z_2=0{,}001 + j\,0{,}003\\ \Omega,\quad |Z_2|=0{,}0031623\\ \Omega,\\ \angle Z_2\approx71{,}565^\circ
Expressões gerais das tensões induzidas (fasores):
E_1 = V_1 + I_1\,Z_1,\qquad E_2 = V_2 + I_2\,Z_2.
Para fator de potência unitário ( \varphi=0) as expressões numéricas em função de N são:
E_1 = \big(230 + 0{,}4347826087\,N\big) + j\big(1{,}304347826\,N\big)\\ \text{V},
|E_1|=\sqrt{\big(230 + 0{,}4347826087\,N\big)^2 + \big(1{,}304347826\,N\big)^2}.
E_2 = \big(2300 + 0{,}0004347826087\,N\big) + j\big(0{,}001304347826\,N\big)\\ \text{V},
|E_2|=\sqrt{\big(2300 + 0{,}0004347826087\,N\big)^2 + \big(0{,}001304347826\,N\big)^2}.

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