Um transformador elevador monofásico de
, tem os seguintes parâmetros:
e
. Calcule p/ primário e secundário:
a) As correntes e impedâncias internas;
b) As tensões induzidas.
a) As correntes e impedâncias internas;
b) As tensões induzidas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei do enunciado):
- Potência aparente nominal:
. - Tensões nominais: primário
, secundário . - Resistências e reatâncias de fuga (por enrolamento):
, ; , .
- Potência aparente nominal:
-
O enunciado pede (para primário e secundário):
(a) as correntes e as impedâncias internas;
(b) as tensões induzidas. -
Observação importante (assunção usada):
- Vou calcular as correntes como as correntes nominais (corrente de plena carga) obtidas de
. - As impedâncias internas são os impedâncias série de cada enrolamento:
e . - Para as tensões induzidas vou usar o modelo série habitual (fórmulas gerais em termos de fasores). Como o enunciado não informa o fator de potência do carga, darei a expressão geral em função do ângulo de fase
do corrente de carga e também apresentarei os resultados numéricos para o caso simples de fator de potência unitário (carga resistiva), que é o caso didático mais direto.
- Vou calcular as correntes como as correntes nominais (corrente de plena carga) obtidas de
Passo 2
Cálculo das correntes nominais (plena carga).
-
Fórmula (ideia): a corrente nominal de um enrolamento é a potência aparente dividida pela tensão do enrolamento:Aqui
em volt-ampere ( ) e em volts; o resultado é em ampères. -
Aplicando ao primário (
): -
Aplicando ao secundário (
): -
Relação entre correntes (verificação rápida):
, ou seja , consistente com o transformador elevador 230→2300 V.
Passo 3
Cálculo das impedâncias internas (por enrolamento) e suas magnitudes/ângulos.
-
Definição: a impedância interna de cada enrolamento éonde
é a resistência (queda resistiva) e a reatância de fuga (queda indutiva). é a unidade imaginária. -
Substituindo os valores:
-
Magnitudes e ângulos (úteis para somas fasoriais):
- Interpretação curta e amigável: ambos os enrolamentos têm a mesma razão
, portanto mesma fase de queda (aprox. ), o que simplifica o entendimento das quedas de tensão: a queda é mais reativa do que resistiva.
Passo 4
Modelo fasorial e relação entre tensão terminal e tensão induzida (explicação didática).
-
No modelo de um enrolamento real, existe uma tensão induzida interna (fem)
e, em série com ela, a impedância de fuga . A tensão terminal é a tensão que aparece nos terminais do enrolamento depois da queda em . A relação fasorial (convencional) é: ondeé a corrente do enrolamento (asa orientação de sinais: a queda subtrai da fem interna se a fem está fornecendo tensão aos terminais). Reorganizando para obter a fem induzida: Eu vou usar essa última forma porque é direta para calcular a tensão induzida (a “fem” do enrolamento) a partir da tensão terminal e da corrente que circula. -
Observação sobre fase:
, e são fasores. Se a carga não for puramente resistiva, terá um ângulo de fase em relação a . Para manter geral, escrevemos se adotarmose como referência com ângulo (carga com fator de potência fator de potência , se for indutiva corrente atrasa).
Passo 5
Expressões gerais para as tensões induzidas (fasores) e desenvolvimento prático para o caso
(carga puramente resistiva).
-
Fórmulas gerais (fasores):Aqui
e são os fasores das correntes de plena carga (com o ângulo se a corrente estiver atrasada em relação à tensão de referência). -
Desenvolvendo em termos reais e imaginários (caso geral, escrevendo
como se é referência em ):
Isto dá resultado complexo; a magnitude de
obtém-se por
.
-
Caso prático didático: fator de potência unitário (
, corrente em fase com a tensão). Então é real e positivo na referência de , podemos somar retangularmente: - Para o primário:
- Para o primário:
Substituindo \(I_1=\dfrac{1000}{230}N\):
\[I_1 Z_1 = \left(0{,}4347826087\,N\right) + j\left(1{,}304347826\,N\right)\\ \text{V}.\]
Assim
\[E_1 = 230 + \big(0{,}4347826087\,N\big) + j\big(1{,}304347826\,N\big)\]
Magnitude:
\[|E_1| = \sqrt{\big(230 + 0{,}4347826087\,N\big)^2 + \big(1{,}304347826\,N\big)^2}.\]
- Para o secundário:
Substituindo \(I_2=\dfrac{1000}{2300}N\):
\[I_2 Z_2 = \left(0{,}0004347826087\,N\right) + j\left(0{,}001304347826\,N\right)\\ \text{V}.\]
Assim
\[E_2 = 2300 + 0{,}0004347826087\,N + j\big(0{,}001304347826\,N\big)\]
Magnitude:
\[|E_2| = \sqrt{\big(2300 + 0{,}0004347826087\,N\big)^2 + \big(0{,}001304347826\,N\big)^2}.\]
- Interpretação numérica rápida (intuição): as quedas de tensão no secundário são ínfimas (porque
é muito pequeno e também é pequeno), portanto praticamente vale com um desvio microscópico. No primário a queda é maior, mas ainda pequena comparada a (depende do valor de ): por exemplo, para (100 kVA) a parte real acrescentada seria e a imag. , resultando em algo em torno de (apenas exemplo ilustrativo).
Passo 6
Resumo passo a passo prático (como aplicar na prova — check-list rápido):
- Calcule
e com . - Escreva
e . Calcule módulo/ângulo se for útil. - Use
para obter a tensão induzida (atenção aos fasores: considere o ângulo do corrente ). - Se o enunciado não der fator de potência, mantenha
simbólico ou use para simplificar (carga resistiva).
Resposta
Expressões gerais das tensões induzidas (fasores):
Para fator de potência unitário (
) as expressões numéricas em função de
são: