Um circuito trifásico tem fonte equilibrada ligada em Y , com sequência positiva e alimenta uma associação de três cargas em paralelo através de uma linha de distribuição com impedância
fase. Na carga, a tensão fase-neutro é
. As cargas 1 e 2 têm modo de ligação e impedância por fase conforme descrição da tabela abaixo. A carga 3 absorve da fonte a potência complexa trifásica
. Calcule:
Carga
Ligação
em
fase
Y
a) O fasores das tensões de fase (
) nos terminais da fonte;
b) O fasor da corrente de linha para a fase
;
c) A potência complexa total fornecida pela fonte e o fator de potência total;
d) Os fasores das correntes de linha para as fases
e
.
e) Os fasores das tensões de linha nos terminais da fonte.
| Carga | Ligação |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
b) O fasor da corrente de linha para a fase
c) A potência complexa total fornecida pela fonte e o fator de potência total;
d) Os fasores das correntes de linha para as fases
e) Os fasores das tensões de linha nos terminais da fonte.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas abaixo.
Informações fornecidas (peguei tudo do enunciado):
- A fonte é trifásica equilibrada, ligada em Y e com sequência positiva.
- A tensão fase-neutro nos terminais da carga (ou seja, na saída da linha, no lado da carga) é
. Pela sequência positiva usamos: - Impedância da linha por fase:
. - Carga 1: ligada em Y, impedância por fase
. - Carga 2: ligada em
, impedância por fase (ramo delta) . - Carga 3: absorve da fonte potência complexa trifásica total
.
O que o enunciado pede:
a) Os fasores das tensões de fase nos terminais da fonte: .
b) O fasor da corrente de linha da fase :
.
c) A potência complexa total fornecida pela fonte (trifásica) e o fator de potência total.
d) Os fasores das correntes de linha para as fases e
:
.
e) Os fasores das tensões de linha nos terminais da fonte (linha a-b, b-c, c-a).
a) Os fasores das tensões de fase nos terminais da fonte:
b) O fasor da corrente de linha da fase
c) A potência complexa total fornecida pela fonte (trifásica) e o fator de potência total.
d) Os fasores das correntes de linha para as fases
e) Os fasores das tensões de linha nos terminais da fonte (linha a-b, b-c, c-a).
Observações iniciais (não resolvo ainda): as cargas 1 e 2 são balanceadas (mesma impedância em cada fase/ramo), e a potência da carga 3 foi dada trifásica — vou assumir que ela é equilibrada por fase (ou seja,
). Como tudo é simétrico e as impedâncias de cada fase e de linha são as mesmas em cada fase, o conjunto resultará em correntes balanceadas com sequência positiva; assim posso calcular a corrente de uma fase (a) e obter as demais por rotações de
. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Plano de ação (fórmulas e conceitos que vou usar — explico didaticamente):
- Relação tensão-corrente em elemento ôhmico/complexo: para uma impedância
e tensão fasorial aplicada, a corrente é Aqui é a tensão complexa (fenfazor) aplicada nos terminais do elemento e é a corrente complexa (phasor). - Para carga em
com impedância por ramo , a corrente de linha que sai da fase (no esquema de fases-to-neutro) pode ser escrita como soma das correntes nas duas ramos que partem de . Para sistema simétrico vale a relação conveniente (mostro a dedução rápida): Se (condição de tensões de fase equilibradas), então , logo para carga delta balanceada: Esta fórmula é prática e correta quando as tensões de fase são equilibradas (como no nosso caso). - Para potência trifásica total fornecida pela fonte, podemos usar (fórmula geral):
onde o asterisco denota conjugado complexo. Ou também posso somar as potências entregues às cargas e as perdas nas linhas: . - Perdas por fase na linha (potência complexa) são
(aqui significa no cálculo do módulo, mas na forma complexa usamos via multiplicação direta: a potência complexa por fase é , e como , tem-se .) - Sequência positiva: tomo referência
, e as outras fases com deslocamentos e .
Agora calculo as correntes por fase no lado da carga (antes da linha) — ou seja, as correntes de carga que passam depois pela linha.
Passo 3
Corrente da carga 1 (Y) na fase
:
- Fórmula:
. - Substituindo:
. Faço divisão em forma retangular para ficar didático: Uma maneira simples é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador; isso dá rapidamente componentes reais e imaginárias: Assim: Em forma fasorial:
Passo 4
Corrente da carga 2 (Δ) na fase
:
- Uso a fórmula para delta balanceado:
. - Substituindo:
Calculo o valor numérico aproximado (divisão em fasor):
magnitude do denominador(aprox.) e ângulo .
LogoEm retangular (aprox.):
Explicação rápida: o sinal de fase positivo (+23,20°) aparece porque a impedância tem componente capacitiva (parte imaginária negativa), deslocando a corrente adiante da tensão.
Passo 5
Corrente da carga 3 (a partir da potência trifásica dada):
- Primeiro obtenho a potência por fase (assumi equilíbrio):
que em VA é . - Relação entre potência por fase, tensão e corrente:
. Portanto: Como é real, fica simples: Em fasor:
Comentário: usei a identidade
(padrão em circuitos de potência) para recuperar a corrente a partir de potência conhecida.
Passo 6
Corrente total que sai da fase
(lado da carga), somando as três contribuições:
Somando os componentes retangulares obtidos:
Somatório:
Em fasor:
Observação importante: por conservação de corrente em cada fase, essa mesma corrente é a corrente que circula na linha (ou seja, a corrente que atravessa a impedância de linha) — portanto
é a corrente de linha no fio
, tanto no lado da carga quanto no lado da fonte (a menos de pequenas correntes de neutro, mas o sistema é equilibrado). Assim respondo o item (b) com este valor (mas continuo para achar as tensões no lado da fonte).
Passo 7
Queda de tensão na linha e tensão no terminal da fonte (fase
):
- A queda de tensão em cada fase é
.
Come ,
efetuo a multiplicação (retangular):(mostrei a multiplicação componente a componente: real , imag .) - A tensão fase-neutro no terminal da fonte é a soma da tensão no terminal da carga com a queda de linha:
Substituindo valores (em retangular): Em fasor (módulo/ângulo):
Comentário didático: a tensão no terminal da fonte é a tensão que aparece antes da linha; como há corrente na linha e impedância, há queda e portanto a tensão da fonte fica maior (aumenta em módulo e muda de fase conforme o produto
).
Passo 8
Correntes das fases
e
e tensões de fase correspondentes no lado da fonte (usando simetria):
-
Como todas as cargas são balanceadas e a fonte é balanceada, as correntes de fase formam um conjunto equilibrado de sequência positiva. Assim:Portanto, com
: -
As quedas de tensão nas fases
e são simplesmente as rotações das quedas em (porque é igual em cada fase): , .
Logo as tensões de fase no lado da fonte ficam também equilibradas e obtidas por rotação:Numericamente:
Explicação: a simetria facilita muito — ao calcular uma fase (a), as demais obtêm-se por rotação de
quando o sistema e as cargas são equilibrados.
Passo 9
Potência complexa total fornecida pela fonte e fator de potência:
-
Primeiro soma das potências trifásicas das cargas (checagem):
- Carga 1 (trifásica): por fase
. Como , e trifásico . - Carga 2 (trifásica): posso usar
. Com , - Carga 3 já dada:
. - Soma das cargas:
- Carga 1 (trifásica): por fase
-
Perdas nas linhas (trifásicas): por fase
. Assim por fasee trifásico -
Potência fornecida pela fonte:Em unidades de kVA:
-
Fator de potência total (efeito da potência reativa total):onde
e .
Logo
Explicação: o fator de potência é “lagging” porque a potência reativa fornecida é positiva (indutiva líquida), isto é, a fonte fornece reativo.
Passo 10
Tensões de linha (entre fases) nos terminais da fonte:
- Para um sistema equilibrado de tensões de fase
com ângulo e magnitude , as tensões de linha (linha a-b etc.) têm magnitude e ângulo deslocado de em relação à fase de referência. Assim: - Usando
e , e o ângulo Similarmente:
Verificação rápida: somando vetorialmente as duas fases dá coerência com
etc.; como o sistema ficou equilibrado, as magnitudes de linha são
vezes as de fase.