Um transformador monofásico de 150 MVA e 15 / 200 \mathrm{kV} tem uma resistência por unidade de 1,2% e uma reatância por unidade de 5% (dados tomados da placa do transformador). A impedância de magnetização é j 80 por unidade.
(c) Calcule as perdas no cobre e no núcleo do transformador nas condicóes de (b).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos estes valores do enunciado que você enviou):
  • Transformador monofásico com potência nominal S_{base}=150\\ \mathrm{MVA} e tomadas 15/200\\ \mathrm{kV}.
  • Resistência série por unidade R_{pu}=1{,}2\%.
  • Reatância série por unidade X_{pu}=5\%.
  • Impedância de magnetização Z_m = j80 (em por unidade).
    O item (c) pede: calcular as perdas no cobre e no núcleo do transformador nas condições de (b).
Importante: o enunciado do item (c) refere-se às “condições de (b)”, mas você não me enviou o enunciado de (b). Sem saber o que foi pedido em (b) (por exemplo: corrente de carga, carga em MVA ou em pu, fator de potência, se a tensão de operação é nominal, ou se foi dada a perda no ferro a vazio), NÃO é possível obter valores numéricos únicos para as perdas. Vou, portanto:
  • Explicar exatamente o que falta e por quê.
  • Mostrar passo a passo como calcular as perdas no cobre e no núcleo a partir dos dados que tipicamente aparecem em (b).
  • Dar fórmulas finais e um exemplo simples (caso a condição fosse “carga plena, tensão nominal”) para você ver o cálculo numérico.

Passo 2

Convertendo os dados fornecidos para notação por unidade (explicando o que cada coisa significa).
  • A notação “1,2%” significa R_{pu}=0{,}012. A notação “5%” significa X_{pu}=0{,}05.
  • Em per‑unit, as impedâncias série já estão referidas à base escolhida. Aqui assumiremos naturalmente a base de potência igual à potência nominal do transformador S_{base}=150\\ \mathrm{MVA}. Em geral também usa‑se V_{base} igual à tensão nominal do lado considerado; para perdas é conveniente trabalhar com grandezas por unidade no lado em que a corrente é conhecida.
    Breve aula sobre per‑unit (porque ajuda muito na prova):
  • Per‑unit normaliza grandezas dividindo pela sua base, de modo que números ficam simples. Se Z_{pu} é a impedância por unidade, a impedância real em ohms é Z_{pu} Z_{base} com Z_{base} = \dfrac{V_{base}^2}{S_{base}}.
  • Para potências, 1\\ \mathrm{pu} representa S_{base} (aqui 150\\ \mathrm{MVA}). Para correntes, 1\\ \mathrm{pu} representa a corrente nominal do transformador na base escolhida.
  • Resistência e reatância em pu podem ser usadas diretamente em fórmulas de perdas se usarmos S_{base} para voltar a watts.

Passo 3

Como calcular as perdas no cobre (explicação didática passo a passo).
  • Conceito: perdas no cobre são as perdas ôhmicas nos enrolamentos: P_{Cu}=I_{rms}^2 R_{eq}, onde I_{rms} é a corrente por enrolamento e R_{eq} é a resistência equivalente vista pela corrente.
  • Em per‑unit isto fica muito simples. Se I_{pu} é a magnitude da corrente (em pu) que flui pela impedância série, então a perda em pu é
P_{Cu,pu} = I_{pu}^2 \, R_{pu}.
  • Para converter para unidades físicas de potência (MW), multiplicamos por S_{base} (em MW). Como S_{base}=150\\ \mathrm{MVA}=150\\ \mathrm{MW} em termos de ordem de grandeza, temos a fórmula prática
P_{Cu}(\mathrm{MW}) = I_{pu}^2 \; R_{pu} \; S_{base}(\mathrm{MW}).
  • Substituindo o R_{pu} dado:
P_{Cu}(\mathrm{MW}) = I_{pu}^2 \cdot 0{,}012 \cdot 150.
  • Interpretação de I_{pu}: se a condição de (b) desse uma carga aparente S_{load} (em MVA) entregue ao transformador e a tensão nas bornes for a nominal (ou seja V_{pu}=1), então
I_{pu} = \frac{|S_{load}|}{S_{base}}.
Se (b) especificar fator de potência ou carga em percentagem, converte‑se para I_{pu} com esta relação.
  • Exemplo numérico (caso comum que aparece em provas): se a condição de (b) fosse “carga plena, I_{pu}=1 (ou seja carga de 150\\ \mathrm{MVA} à tensão nominal)”, então
P_{Cu} = 1^2 \cdot 0{,}012 \cdot 150 = 1{,}8\\ \mathrm{MW}.
Se I_{pu}=0{,}8 então P_{Cu}=0{,}8^2\cdot0{,}012\cdot150=0{,}8^2\cdot1{,}8=1{,}152\\ \mathrm{MW}, etc. (apenas um exemplo de como aplicar).

Passo 4

Como calcular as perdas no núcleo (perdas no ferro) e por que, com os dados atuais, não dá para um número.
  • Conceito: perdas no núcleo (perdas no ferro, P_{Fe}) representam potência dissipada no núcleo por histerese e correntes de Foucault quando o transformador está excitado. Em modelos elétricos do transformador à frequência industrial elas são representadas por uma resistência R_m (ou condutância G_m) em paralelo com a reatância de magnetização X_m. O ramo de magnetização é Y_m = G_m + j B_m ou, alternativamente, Z_m = R_m \parallel j X_m.
  • O enunciado forneceu apenas Z_m = j80 pu, ou seja uma impedância de magnetização puramente reativa. Isso indica que foi dado apenas o componente reativo do ramo de magnetização (a reatância de magnetização X_m=80\\ \mathrm{pu}), e NÃO foi fornecida a resistência de perdas do núcleo R_m (ou seja G_m=0 no dado). Se realmente Z_m=j80 for todo o ramo (sem resistência), então, no modelo dado, a perda no núcleo é zero.
  • Fórmula geral (caso em que exista uma resistência de perdas R_m expressa em pu): se o ramo de perdas é representado por R_{m,pu} em paralelo com jX_m, e a tensão nas bornes em pu for V_{pu}, então a perda no núcleo (em MW) é
P_{Fe}(\mathrm{MW}) = \frac{V_{pu}^2}{R_{m,pu}} \; S_{base}(\mathrm{MW}).
Alternativamente, se for dada a condutância G_m (em pu), usa‑se
P_{Fe}(\mathrm{MW}) = V_{pu}^2 \; G_m \; S_{base}(\mathrm{MW}).
  • Outra forma prática comum: muitas vezes a placa do transformador traz as perdas no ferro à tensão nominal, P_{Fe,rated} (em kW). Nesse caso, para operar a tensão diferente, usa‑se a aproximação de que P_{Fe}\propto V^2 (aproximadamente), então
P_{Fe} = P_{Fe,rated} \left(\dfrac{V}{V_{rated}}\right)^2.
  • Conclusão concreta para este enunciado: com apenas Z_m=j80 (sem parte real), o modelo indica P_{Fe}=0. Se na realidade (b) ou a placa do transformador tiver indicado um valor de perdas no ferro (por ex. P_{Fe}=k\\ \mathrm{kW}), então usaria‑se esse valor (ou as fórmulas acima) para obter o número. Portanto, para um valor numérico real é necessário que (b) indique ou:
    • a resistência de perdas do núcleo R_{m,pu} (ou a condutância G_m) em pu, ou
    • as perdas no ferro à tensão nominal P_{Fe,rated}, ou
    • que o enunciado realmente queira assumir Z_m=j80 como dado completo (caso em que P_{Fe}=0).

Passo 5

Resumo prático (o que você deve fazer na prova e as fórmulas finais prontas para aplicar).
  • Perdas no cobre (fórmula pronta):
P_{Cu}(\mathrm{MW}) = I_{pu}^2 \; R_{pu} \; S_{base}(\mathrm{MW}) = I_{pu}^2 \cdot 0{,}012 \cdot 150.
Onde I_{pu} é a magnitude da corrente expressa em pu (se a tensão terminal for nominal, I_{pu}=|S_{load}|/150 com S_{load} em MVA).
  • Perdas no núcleo (fórmula pronta, quando houver resistência de perdas fornecida):
P_{Fe}(\mathrm{MW}) = \dfrac{V_{pu}^2}{R_{m,pu}} \; S_{base}(\mathrm{MW}) \quad\text{ou}\quad P_{Fe}(\mathrm{MW}) = V_{pu}^2 \; G_m \; S_{base}(\mathrm{MW}).
  • Caso especial indicado pelos dados que você enviou: se o dado de magnetização for estritamente Z_m=j80 (sem parte resistiva), então, segundo esse modelo, P_{Fe}=0.
  • Exemplo numérico rápido (se a condição de (b) fosse “carga plena a tensão nominal”):
    • I_{pu}=1 então P_{Cu}=1^2\cdot0{,}012\cdot150=1{,}8\\ \mathrm{MW}.
    • E, com Z_m=j80 sem resistência, P_{Fe}=0 segundo o modelo dado.

Resposta

Não é possível calcular numericamente as perdas solicitadas sem as condições de (b) (por exemplo: S_{load} ou I_{pu} e/ou a resistência de perdas do núcleo R_{m,pu} ou P_{Fe,rated}).\n\nPerdas no cobre (fórmula a aplicar):\n P_{Cu}(\mathrm{MW}) = I_{pu}^2 \cdot 0{,}012 \cdot 150.\n\nPerdas no núcleo (situação com os dados fornecidos):\n \text{Se }Z_m=j80\text{ (sem parte real) então }P_{Fe}=0\text{ segundo esse modelo.}ã\n\n(Se for fornecido R_{m,pu} ou P_{Fe,rated}, usar as fórmulas descritas no passo 4 para obter P_{Fe}.)

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